Лекции по физике

Дифракция света.

Метод зон Френеля.

 Дифракией называется когерентное рассеяние света на объектах, геометрические размеры которых сранимы с длиной световой волны. Наблюдающаяся дифракционная картина является результатом интерференции вторичных источников, образующихся на поверхности объекта. Расчет интерференционной картины можно проводить пользуясь методом суперпозиции, однако применение этого метода сопряжено с известными математическими трудностями. В связи мы ограничимся рассмотрения качественного подхода к решению поставленной задачи, развитого Френелем. Основной идеей, определяющей сущность такого рассмотрения, является принцип Гюйгенса –Френеля, который представляет собой дополненный принцип Гюйгенса. Френель постулировал, что все элементарные вторичные источники являются когерентнми. Для оценки результирующей амплитуды колебаний в точке наблюдения был разработан специальный метод, получивший название метода зон Френеля. Согласно этому методу волновой фронт (будем называть волновым фронтом поверхность, которая соединяет все точки, колеблющиеся в одинаковой фазе) разбивается на отдельные участки, именуемые зонами. Разбиение на зоны должно удовлетворять двум условиям: 

1.площади всех зон одинаковы,

2.расстояния от двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половину длины волны.

Первое условие означает, что амплитуды колебаний от всех зон в точке наблюдения будут одинаковыми, тогда как из второго условия следует, что колебания двух соседних зон складываются в противофазе. В этом случае вместо вычисления сложных интегралов достаточно подсчитать число зон. Если оно – четно – в точке наблюдения будет минимум освещенности (зоны попарно гасят друг друга), если же количество зон на участке волнового фронта, видимого из точки наблюдения, окажется нечетным – в ней будет конечная освещенность.

Метод векторных диаграмм.

 Для оценки вкладов от каждой зоны в суммарную освещенность используем метод векторных диаграмм. Для этого разобьем каждую зону на ряд узких «подзон» так, что каждая подзона отличается от соседней лишь небольшим сдигом по фазе. Колебания каждой из «подзон» будем представлять в виде вектора, длина которого определяется амплитудой ко

pic45

Рис.45. Векторная

 диаграмма одной

зоны.

лебаний. Площади «подзон» выберем одинаковыми. Как видно из рис.45, вектора каждой «подзоны» оказываются повернутыми относительно соседних на небоьшой угол, но «подзоны» на противоположных краях зоны отличаются по фазе на 1800 .Суммарное действие всех «подзон» изображается вектором ЕS . Нетрудно сообразить, что при устремлении ширины каждой «подзоны» к нулю, получившаяся ломаная линия превращается в плавную полуокружность.

Действие двух зон должно быть равным нулю, но оказывается, что амплитуды колебаний зон не совсем одтнаковые. Их величина зависит от косинуса угла между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения. Результат сложения двух и трех зон

pic46

Рис.46. Векторные диаграммы для разного числа зон.

показан на рис.46( б,в и г). Как видно из рис., две зоны почти уничтожаются, а амплитуда третьей зоны почти равна амплитуде первой. Там же показано (рис.46а) действие всего

волнового фронта А0, когда препятствие отсутству

ет. Оно оказывается в два раза меньше, чем действие первой зоны. Витки спирали расположены достаточно плотно, и при большом количестве открытыз зон суммарная амплитуда АS » А0 остается практически неизменной при изменении числа зон.

Дифракция Френеля на круглом отверстии.

pic47

Рис.47. К вычислению радиуса зоны.

Применим метод зон к анализу так называемой дифракции Френеля, когда источник света – точечный, и волновая поверхность имеет форму сферы.В качестве препятствия рассмотрим небольшое круглое отверстие в непрозрачном экране. выберем точку наблюдения О так, чтобы в отверстии укладывалось бы целое число зон Френеля. Пусть волновой фронт от точечного источника S,

дошедший до экрана, имеет радиус SB = а (см. рис.47). Расстояние от точки наблюдения О до плоскости экрана равно МО = b+d. Мысленно разобьем волновой фронт на концентрические зоны ( на рис.47 показана одна зона) так, что расстояние от n – зоны до точки наблюдения О равно b + nl/2. Из треугольника SBM по теореме Пифагора получим:

 МВ2 = SB2 – SM2 = . (IV)

 Аналогично из DОМВ :=. (V)

Члены, содержащие множители l2 и d2, отброшены как малые по сравнению с a и b. Приравнивая правые части уравнений (IV) и (V), получим   Выражая отсюда d и подставляя его в (IV), получим формулу для радиуса любой зоны:

 .

Численные значения радиуса первой зоны можно оценить, полагая a » b ~ 1м, l » 0,5мкм. Подстановка этих значений показывает, что r1 »0,3 мм. Поэтому при диаметре отверстия 1 2 мм в нем уложится 57 зон. Поскольку их амплитуды примерно одинаковы, результат сложения существенно зависит от числа зон. При нечетном числе зон в точке наблюдения

pic48

Рис.48. Смещение зон относительно отверстия.

будет максимум, а при четном – минимум освещенности. Рассмотрим, как будет изменяться результат сложения колебаний при изменении положения точки О. Если точка смещается вдоль оси SO, то характер разбиения на зоны не изменится, произойдет лишь изменение числа зон, укладывающихся в отверстии, т.е. будет наблюдаться чередование максимумом и минимумов освещенности. Если же точка О смещается перпендикулярно оси SO, то харак

тер разбиения на зоны также не изменится, но произойдет поворот направления наблюдения

относительно перпендикуляра, восставленного

из центра отверстия к плоскости экрана (см. рис. 48. Вследствие этого часть зон начнет закрываться, что приведет к изменению освещенности. Пусть для определенности в тот мо

мент, когда точка наблюдения находится на оси OS, а в отверстии укладывается нечетное число зон (например – три). Когда часть наружной зоны начнет закрываться, освещенность уменьшится.Одновременно с противоположного края отверстия появится часть новой зоны, которая еще больше уменьшит освещенность ( здесь нада вспомнить, что соседние зоны гасят друг друга). Поэтому при дальнейшем удалении точки наблюдения от оси наступит момент, когда освещенность уменьшится до нуля..Это условие будет выполняться для всех точек, находящихся на окружности, радиус которой определяется расстоянием от точки наблюдения до оси OS. Вокруг светлой точки появится темное кольцо, продолжая рассуждения подобным образом, можно придти к заключению, что дифракционная картина от круглого отверстия представляет собой чередование чветлых и темных колец.

Дифракция Френеля на круглом экране.

pic49

Рис.49. Диффракция на круглом

 экране.

Пусть препятствием служит теперь небольшой непрозрачный диск, и пусть радиус волнового фронта настолько велик, что волновая поверхностьS практически  совпадает с плоской поверхностью диска ( рис.49). Разобьем волновой фронт на зоны способом, аналогичным изложенному в предыдущем параграфе. В точку наблюдения В приходят все колебания волнового фронта за исключением тех зон, которые закрыты диском. Это суммарное колебание на векторной диаграмме (см. рис.46) изобразится вектором АД . Начало вектора соответствует точке, лежащей на краю диска. При изменении расстоя

 ния от диска до точки В число закрытых зон будет меняться, и начало вектора АД станет описывать окружность вокруг центра спирали, тогда как конец вектора всегда находится в ее центре. При большом числе открытых зон длина вектора почти не изменяется. Поэтому в точке В будет наблюдаться светлое пятно (пятно Пуассона).

На главную