Лекции по физике

Колебательный контур.

Затухающие колебания в колебательном контуре.

 Рассмотрим последовательную цепь, содержащую катушку индуктивности L, емкость С, сопротивление R и ключ. Предположим, что на емкости в начальный момент времени имеется некоторый заряд . Если цепь замыкается, то в цепи возникает электрический ток. Наличие катушки индуктивности обуславливает возникновение ЭДС самоиндукции, которая своим действием препятствует возрастанию разрядного тока конденсатора. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, ток через индуктивность достигает максимума. В дальнейшем ЭДС самоиндукции стремится поддержать этот ток, что приводит к перезарядке конденсатора до некоторого напряжения обратной полярности. Процесс перезарядки конденсатора повторяется определенное число раз в зависимости от величины потерь энергии на сопротивлении. Способность контура к перезарядке характеризуется качеством контура или добротностью. Добротность контура Q определяется отношением энергии, запасенной на конденсаторе или в катушке индуктивности, к величине потерь энергии на сопротивлении за период:

 

 Для количественного описания процессов в последовательном колебательном контуре используется уравнение, полученное ранее при рассмотрении переменного тока: 

  E (t), ( ++)

с той разницей, что в нашем случае внешняя ЭДС отсутствует так, что уравнение принимает вид:

 0.

Введем обозначения : ; b =  и учтем, что по опеределению I=.Тогда наше уравнение принимает вид, знакомый по курсу прошлого семестра:

 

где в качестве переменной выступает заряд q. Решением этого дифференциального уравнения служит функция q(t) = q0 e bt cos(wt + j), где величины q0 и j определяются начальными условиями, а w2 = с учетом того, что в большинстве случаев b<<w0 . Очевидно, что при b = 0 колебания в контуре становятся незатухающими, и частота этих колебаний равна . Добротность контура Q может быть выражена через его параметры. Энергия, запасенная в индуктивности, равна L/2., а мощность, выделяемая на сопротивлении, /2. За период Т = на сопротивлении выделится энергия RT/2 = p. Поэтому Q = 2p .

Как видно из полусенного выражения, величина добротности определяется лишь параметрами контура L,C и R.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс.

 Включим в цепь рассматриваемого контура внешнюю переменную ЭДС E = E0 sin(wt+j).

Повторяя процедуру прошлого семестра, найдем графическое решение уравнения (++). Будем искать решение уравнения

 

в виде q(t) = q0sin wt. Тогда

 .

Подставляя эти величины в исходное уравнение, имеем:

 .

pic31

Рис.31.Графическое решение

дифференциального уравнения.

Обращаясь к векторному представлению колебаний, нетрудно заметить, что вектор r0 , стоящий в правой части уравнения является суммой двух других векторов, представляющих колебания в левой части.  Из рис.31 по теореме Пифагора

 

откуда

  (Р) 

Из полученного выражения видно, что амплитуда заряда на конденсатора изменяется в зависимости от частоты внешней ЭДС, достигая максимума, когда подкоренное выражение минимально. Это достигается тогда, когда ; если b<<w0 , то wР » w0

называется резонансной частотой. В момент резонанса q0 = , и напряжение на конденсаторе

  (*)

в Q раз больше,чем напряжение внешней ЭДС. Графическая зависимость напряжения на

pic32

Рис.32. Резонансная кривая.

конденсаторе UC от частоты представлена на рис.32. Важной технической характеристикой контура является полоса пропускания, которая определяется как область частот DW,где энергия, запасаемая в контуре на частоте w, отличается от энергии на частоте w0 в наименьшее целое число раз (в два). Обычно DW.На границах области w =w0 ±..При этих условиях

 

.

 Из этого соотношения следует, что Dw =b. Тогда напряжение на емкости можно записать так:

 .

Сравнивая это выражение с формулой (*), можно заметить, что Q = . Последняя формула имеет важный практический смысл. Она позволяет расчитать добротность из экспериментально полученной резонанмной кривой. Для этого достаточно провести горизонтальную прямую на уровне qрез до пересечения с резонансной кривой и спроектировать точки пересечения на ось частот. Этот интервал и определит полосу пропускания.

 Колебательные контура широко применяются в телевизорах, радиоприемниках, передатчиках, в раздичных радиоустройствах избирательного действия и т.п. Мы же рассмотрим более подробно одно из атмосферных явлений, которое можно представить как разряд конденсатора в колебательном контуре. Это явление – гроза, точнее возникновение молнии.