Лекции по физике

Поле прямого тока и витка с током.

 В качестве примеров расчета значений вектора магнитной индукции вычислим поле прямого тока и в центре круглого витка с током.

 Поле прямого тока.

pic19

Рис.19. Поле прямого тока.

Пусть требуется найти поле отбесконечного прямого тока I на расстоянии R от него. Выберем элемент тока dl, как показано на рис.19. Величина модуля вектора определяется выражением

 

Для суммирования свяжем все переменные друг с другом, выбирая в качестве интегрируемой переменной угол a. Из рис.19 видно, что

 .

Подставляя эти выражения в формулу для В, после пре-образований получим:

 ;

 

где a1 и a2 – углы, соответствующие направлениям на концы проводника. Если проводник

 

бесконечный, то a1® 0, а a2® p, и .

 Направление вектора В определяется правилом вычисления векторного произведения: первый сомножитель (dl в нашем случае) вращается в направлении наименьшего угла ко второму сомножителю (r). Направление движения оси правого винта при таком вращении покажет направление их векторного произведения ( на рис.- от нас – значок -Ä). Силовые линии магнитного поля являются концентрическими окружностями, охватывающими про-водник с током. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной направлению тока.

 Поле витка с током.

Вычислим значение вектора магнитной индукции в центре круглого витка, обтекаемого

pic20

Рис.20. Поле в центре

 витка с током.

током I. Как видно из рис.20, в этом случае элемент тока dl перпендикулярен радиусу R, и суммирование сводится просто к вычислению длины окружности. Поэтому

 .

 Все элементы тока дают одинаковое направление вектора dB так ,что суммарный вектор В перпендикулярен плоскости чертежа и направлен на нас (значок · ).

 

 

 

Теорема о циркуляции магнитного поля.

 Пусть имеется тонкий бесконечный провод, по которому проходит ток силой I. Выберем мысленно окружность радиуса R, концентрическую заданному току и лежащую в плоскос-ти, перпендикулярной ему. Рассмотрим сумму произведений проекций вектора магнитной

pic21

 

Рис.21. Вычисление цир-

 куляции. 

 индукции на соответствующий элемент длины окружности ра-диуса R ( рис.21) Bldl. 

 Если суммирование проводится по всей длине окружности, то результат носит название циркуляции, т.е. его можно за-писать так .Для выбранного нами контура в виде окруж-ности величина интеграла может быть вычислена непосред-ственно. Во всех точках контура вектора В направлены по касательной к окружности, а значения В постоянны и равны

 В =, так что его можно вынести за знак интеграла. Тогда

 

 = 2pR и циркуляция .

pic22

Рис.22. К расчету элемента контура.

Если мысленный контур не концентричен току, то результат суммирования не меняется, т.к. для любого элемента контура (см. рис.22) Вl dl = и не зависит от расстояния х от тока до элемента контура. Угол da означает малый угол, под которым виден элемент длины контура из точки пересечения его площади током. Очевидно, что полное значение суммирования не изменится и для произвольной формы контура, который удобно в этом случае

представить как ломаную линию, состоящую из элементов окружностей и приращений ра-диуса. Здесь следует помнить, что проекции вектора В на приращения радиуса равны нулю.

 Если плоскость, в которой лежит наш мысленный контур, не перпендикулярен на-правлению тока, то контур можно спроектировать на плоскость, нормальную к току, снова результат вычисления циркуляции будет прежний. Если через плоскость нашего контура проходит несколько токов I1, I2 и т.д., то поскольку выражение для циркуляции остается справедливым для каждого тока в отдельности, оно останется справедливым и для суммы токов. Итак, в общем можно записать:

 .

Полученное выражение носит название теоремы о циркуляции и является одним из уравнений Максвелла. Суммирование в правой части этого уравнения носит алгебраи-ческий характер: токи могут иметь знак (+) или (-) в зависимости от того, острый или тупой углы образуют они с направлением заданной нормали к площади, охватываемой контуром.

Поля, циркуляция которых отлична от нуля, называются вихревыми.

 Словесная формулировка теоремы о циркуляции:

Циркуляция вектора магнитной индукции по закнутому контуру с точностью до пос-тоянного множителя m0 равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.

Поле длинного соленоида.

 Применим теорему о циркуляции для вычисления поля на оси длинного соленоида. На рис.23 показаны силовые линии магнитного поля для катушки. Мысленно удлиняя ее, можно догадаться, что для достаточно протяженной катушки поле внутри соленоида и снаружи его будет направлено горизонально ( относительно рис.) Выберем контур в виде прямоугольникаАВСD так, чтобы сторона AD лежала на оси соленоида. Тогда циркуляцию

pic23

Рис.23. Силовые линии

 магнитного поля

 соленоида.

вектора магнитной индукции по такому контуру можно представить состоящей из четырех частей:  +  .

Однако на трех из них значения Вn равны нулю: на отрезках АВ и СD вектор В перпендикулярен этим сторонам, а отре-зок ВС можно удалить в бесконечность, где В = 0. На отрез-ке AD значения В постоянны, иВlC , где l C - дли-на соленоида. Т.к. ток I пересекает контур N раз ( N- число витков) , то Вl C = m0 NI, откуда В =m0 nI, где n =N/ l C .

На главную