Лекции по физике

Динамика материальной точки.

Первый закон Ньютона.

 Кинематика устанавливает законы движения материальной точки, но не указывает причины вызвавшие это движение, а также факторы, влияющие на вариации кинематических параметров движения. Законы Ньютона, сформулированные более 300 лет назад, явились результатом обобщения большого количества наблюдений и экспериментов. Эти законы имеют фундаментальное значение и в наше время. Первый закон утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние. Свойство тела сохранять свое состояние неизменным называют инерцией, а системы отсчета, в которых выполняется этот закон, - инерциальными. Физический смысл закона состоит в том, что для механики нет различия между состоянием покоя и равномерного прямолинейного движения. Он подчеркивает относительность движения. Строго говоря, этот закон является чистой абстракцией, но опыт всего человечества за прошедшие три с лишним века подтверждает его справедливость. Причина изменения состояния тела, т.е. появление ускорения связана с понятием силы. Сила - количественная мера воздействия на выбранное нами тело со стороны других тел. Вообще говоря, это воздействие может быть достаточно сложным, но в этом случае его можно разложить на так называемые простые воздействия. Поэтому силой называют количественную меру простого воздействия на тело со стороны других тел, в во время действия которого тело или его части получают ускорения. Как показывает опыт, величина полученного ускорения зависит от свойств взаимодействующих тел, от расстояния между ними и от их относительных скоростей. Силу принято измерять ( в международной системе единиц СИ ) в Ньютонах ( Н ). На территории нашей страны эта система единиц является Государственным Стандартом с 1977 года. Однако до сих пор существуют метрические внесистемные единицы: грамм, килограмм и тонна. Эти единицы используются при определении веса тела. На практике для измерения величины силы используют динамометр - тарированную ( градуированную) пружину, снабженную шкалой.

Второй закон Ньютона.

 Опыт показывает, что одна и та же сила сообщает различным телам разные ускорения. Более массивные тела приобретают меньшие ускорения. Для характеристики способности тел противостоять действию силы используется понятие массы . Чем меньше ускорение, которое получает тело, тем больше его масса, т.е. ускорения тел обратно пропорциональны их массам:

  . ( 2-1 )

 Приняв какую-либо массу за эталон, с помощью этого соотношения можно измерять любую массу.

 Величина ускорения, которое получает тело определенной массы, зависит от величины силы, - чем больше сила F, тем больше ускорение ( а ~ F ) , по другому a = k F, где k - коэффициент пропорциональности. С учетом (2-1) имеем:

  . ( 2-2 а )

 Выбор коэффициента пропорциональности зависит от выбора системы единиц. В настоящее время во всех существующих системах единиц принято считать k = 1, т.е.

  . ( 2-2 б)

Ускорение - вектор, масса - величина скалярная ( число ), поэтому сила тоже вектор, направление которого совпадает с направлением ускорения. Если на тело действует несколько сил, то ускорение тела пропорционально их геометрической сумме:

 . ( 2-3 )

Уравнение ( 2-3 ) представляет одну из форм записи второго закона Ньютона. В механике это уравнение принято называть уравнением движения . Это уравнение - векторное, и его можно заменить тремя скалярными, проектируя поочередно( 2-3 ) на оси координат X, Y и Z. Второй закон Ньютона может быть сформулирован несколько другим способом с помощью понятия импульса тела. Импульсом принято называть величину p = mv, где v - скорость тела. В ньютновской механике предполагается, что масса тела постоянна и не зависит от скорости, поэтому:

 ma = m . ( 2-4 )

 С учетом ( 2-4 ) уравнение ( 2-3 ) принимает такой вид :

  . ( 2-5 )

Третий закон Ньютона.

 Понятие силы определено как мера взаимодействия тел, т.е. при рассмотрении движения какого-нибудь тела учитывается только одна сторона этого взаимодействия. Ясно, однако, что все тела надо рассматривать как равноправные, т.е. если второе тело воздействует на первое, то и первое тело воздействует на второе. Третий закон Ньютона устанавливает соотношение между этими воздействиями.

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и направлены пр одной прямой в разные стороны.

 Пример: книга лежит на столе; она притягивается к Земле и вследствие этого давит на стол. Однако книга не проваливается к центру Земли, т.к. стол со своей стороны действует на книгу с силой равной по величине силе давления книге на стол. Эта сила со стороны стола носит название реакции опоры. К самой книге приложено две силы: сила притяжения и сила реакции опоры. Они равны по величине и противоположно направлены, т.е. их сумма равна нулю, поэтому книга никуда не двигается.

Природа механических сил.

 Из кинематики известно, что знание величины и направления ускорения позволяет вычислить значения радиуса - вектора материальной точки в любой последующий момент времени, т.е. предсказать положение точки. Законы динамики позволяют сделать это, если известна правая часть уравнений (2-3) или (2-5). Другими словами, нужно уметь определять силы, действующие на тело, положение которого требуется описать. Взаимодействие между макроскопическими телами физика сводит к взаимодействию между элементарными частицами. Таких элементарных частиц в настоящее время известно более сотни. Среди них наиболее популярны электрон, протон и нейтрон. Для характеристики всех частиц вводятся такие понятия как масса покоя, электрический заряд, собственный механический момент ( спин ), а также четность, странность, красивость, барионный заряд, цветовой заряд, слабый заряд и т.д. Установлено, что между элементарными частицами существует четыре фундаментальных взаимодействия: сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное. Сравнительные характеристики этих взаимодействий приведены в таблице 1.

 Таблица 1.

Название

 взаимодействия

 Относительная интенсивность

 Частица,

«переносящая» взаимодействие

Характеристика частицы

 Сильное

 1

 p-мезоны (глюоны)(8 типов )

m ~ 250 mэлект

 разнообразные

 Электромагнитное

 10-2

 фотон

 E= hn

 Слабое

 10-13

W - частицы

Z - частицы

Е ~102 с2 m протон

гипотетичны 

Гравитационое

 10-40

 гравитон 

 

 гипотетичен 

 В классической физике считается, что электромагнитное и гравитационное взаимодействия осуществляются посредством поля. Поле - это особый вид материи, характерный тем, что каждой точке пространства можно приписать определенное значение поля. Физическое поле - непрерывно. Однако, современная физика, базирующаяся на квантовых представлениях, считает дискретной любую физическую величину, которая может изменяться только определенными порциями - квантами. Она приписывает полям дискретный характер, когда изменение поля рассматривается как излучение или поглощение некой частицы, распространяющейся с конечной скоростью

( не больше скорости света с). Другими словами, в квантовой физике взаимодействия сводятся к обмену теми или иными частицами, переносящими квант действия. Если квант действия электромагнитного поля хорошо известен под названием фотон, то квант гравитационного взаимодействия остается по сих пор неоткрытым, хотя он уже получил название гравитона.

Строго говоря, силы в механике могут быть сведены к этим двум взаимодействиям, тем более, что два других типа описывают взаимодействия, существующие только в микромире. В частности, сильное взаимодействие может объяснить наличие ядерных сил, ответственных за устойчивость атомного ядра. Слабые взаимодействия возникают между микрочастицами, обладающими так называемым слабым зарядом. До 1983 года этот тип взаимодействия рассматривался только теоретиками, но в этом году экспериментально была открыта W+ - частица с энергией 81 ГэВ ( Гига - 109, электрон - Вольт - единица измерения энергии, равная 1,610 -19 Джоуля), так что слабое взаимодействие получило опытное подтверждение.

Из таблицы 1 видно, что гравитационные силы являются слабейшими из всех фундаментальных взаимодействий, однако они обладают свойствами аддитивности и достигают значительных величин в космическом масштабе ( притяжение Луны, строение Солнечной системы и т.п.). Величина гравитационной силы притяжения двух точечных масс m1 и m2 определена Ньютоном и известна как закон всемирного тяготения:

  , ( 2-6 )

где r - расстояние между массами, а G = 6,67 10 -11 Н· м2/кг2 - гравитационная постоянная. Чтобы подчеркнуть, что сила - вектор, закон записывают несколько иначе, рассматривая силу, действующую на m2 со стороны m1:

 r12 , ( 2-7 ) 

откуда видно направление силы ( она направлена вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие массы). Модуль силы притяжения P тела массы m к Земле , которую называют силой тяжести можно записать так:

  ( 2-8 )

где величина  - ускорение свободного падения, МЗ- масса Земли, а RЗ - радиус Земли. Из выражения g видно, что оно не зависит от массы выбранного тела и поэтому одинаково для всех тел в определенной точке земной поверхности.

 Важно подчеркнуть различие двух понятий - силы тяжести и веса тела: первая сила существует всегда, когда есть притягивающая масса МЗ, тогда как вторая, представляющая меру воздействия тела на подставку или нить подвеса, вообще говоря может изменяться. Для пояснения сказанного полезно рассмотреть показания весов, на которых стоит гиря. В неподвижном состоянии на

гирю действует две силы - сила тяжести Р и сила реакции опоры ( весов )N, причем Р - N = 0. Если весы движутся вниз с ускорением а, то уравнение второго закона Ньютона, записанное в неподвижной системе координат, имеет вид:

 ma = P - N , ( 2-9 ) 

откуда N = P - ma = mg - ma = m( g - a ). ( 2-10 )

По третьему закону Ньютона сила реакции опоры N равна и противоположно направлена силе давления гири на весы , т.е. весу гири ( N = ). Поэтому вес гири = m (g - a). ( 2-11 ) . Очевидно, что при а = g = 0, т.е. все свободно падающие тела ничего не весят. Сила тяжести на поверхности Земли не является постоянной по двум причинам: во-первых, Земля, как известно не является идеальным шаром ( она сплюснута на полюсах так, что на полюсах g больше, чем на экваторе); во-вторых, вследствие суточного вращения Земли, на все тела на ее поверхности (за исключением географических полюсов) действует центростремительное ускорение aц = соsq, направленное в ту же сторону, что и g. Поэтому (ср. с рис.7) вес тел будет меньше там, где радиус вращения больше, т.е. на экваторе тела имеют наименьший вес.

 Кроме гравитационных сил в механике рассматриваются упругие силы и силы трения, которые обусловлены электрическими силами

. Силы упругости обусловлены деформациями. Деформации связаны с изменением взаимного расположения молекул, образующих рассматриваемое тело, причем силы возникают лишь тогда, когда деформации носят упругий характер. В этом случае справедлив закон Гука так, что , ( 2-12 ) д где x  обозначает величину упругой деформации, а к - коэффициент пропорциональности, зависимый от свойств деформируемого тела и вида деформации. Частным примером проявления упругих сил служат силы реакции опор, направление которых считается всегда нормальным ( перпендикулярным ) к деформируемой поверхности. Другим примером действия упругих сил могут служить так называемые силы связи ( силы натяжения ).

 Рассмотрение сил трения можно ограничить двумя примерами : силами сухого и силами вязкого трения. Сила сухого трения скольжения известна из школьного курса физики: Fтр = -m N, где m - коэффициент трения, характеризующий свойства взаимодействующих поверхностей, а N - так называемая сила нормального давления . В отличие от сил вязкого трения эта сила не зависит от скорости движения тела. Сила вязкого трения, напротив, зависит от величины скорости, причем степень зависимости меняется по мере возрастания скорости. Для сравнительно небольших скоростей она может быть представлена в таком виде: 

 Fвяз = - bv = -. ( 2-13 )

 Величина коэффициента b зависит как от свойств самого тела, которое движется в вязкой среде, так и от свойств среды. Иногда эту силу трения удобнее представлять в таком виде:

 Fвяз = - kS, ( 2-14 )

где S - площадь соприкосновения тела со средой, k - коэффициент внутреннего трения среды, а величина производной, входящей в выражение для силы, носит название градиента скорости, описывающего быстроту изменения скорости слоев среды, увлекаемых телом, в направлении, перпендикулярном направлению скорости тела.

 Практически важное значение имеет сила трения покоя, возникающая между соприкасающимися телами. Максимальную величину этой силы обычно оценивают по формуле для силы трения скольжения, хотя в действительности они несколько отличаются друг от друга.

Динамика вращательного движения материальной точки.

Специфика такого движения состоит в том, что для его описания приходится прибегать к некоторым ухищрениям для выбора системы отсчета, в которых можно записать уравнение движения. Если выбирать обычную неподвижную систему координат, то направления скоростей и ускорения точки будут ежесекундно изменяться относительно координатных осей, что не совсем удобно. Поэтому оперируют с так называемой следящей системой координат, т.е. с такой системой, начало которой неподвижно и совпадает в выбранный момент времени с движущейся материальной точкой, а направления ее осей  совпадает с направлением скорости тела в этот момент времени и с направлением радиуса вращения, проведенного в точку, где расположено тело в этот же момент времени. Важно отметить, что выбранная таким образом система отсчета является неподвижной относительно инерциальной системы отсчета (например, Земли), и в ней справедливы законы Ньютона.

 Рассмотрим в качестве примера движение автомашины по выпуклому мосту, радиус которого r (см. рис.9) .Направим одну из осей следящей системы координат к центру моста, а другую - вдоль направления скорости v. Уравнение движения в этом случае имеет вид ( в проекции на вертикальную ось):

 maц = mg - N, ( 2-15 ) 

где через N обозначена сила реакции моста, а mg - сила тяжести. Решая это уравнение относительно N, получаем :

 N = mg - maц = m(g -), ( 2-16 )

откуда следует, что при  = g сила реакции моста будет равна 0 . Но это означает, что автомашина в этот момент времени не оказывает никакого давления на мост, т.е. она находится в состоянии невесомости. 

На главную