Лекции по физике

Распределение энергии по степеням свободы.

 Закон Шарля устанавливает прямую зависимость между давлением газа и его температурой ( р = const·Т); в то же время из ( 11-7 ) следует прямая пропорциональность между давлением и средней кинетической энергией, приходящуюся на одну молекулу, поэтому можно утверждать, что температура есть мера средней кинетической энергии молекул. Коэффициент пропорциональности, который несложно выводится из (11-6) и уравнения Клапейрона, получил название постоянной Больцмана k = 1,38·10-23 Дж/град:

 =. ( 11- 8)

 Поскольку при выводе формулы для давления газа собственные размеры молекул не учитывались, последние можно рассматривать как материальные точки. Положение любой такой точки в пространстве определяется тремя координатами.

Все координаты «равноправны» так, что вся кинетическая энергия молекулы равновероятно распределяется между ними, т.е. на одну координату (принято говорить - на одну степень свободы) приходится энергия i= (1/2)kT. Если для определения положения молекулы требуется задать i - координат, то молекула обладает i - степенями свободы. В этом случае кинетическая энергия молекулы

 z

 

 

 x

 

 

 y

Рис.45. Число степеней

 свободы двухатом-

 ной молекулы.

равна (i/2)kT. Очевидно, что материальная точка обладает тремя степенями свободы. Для молекулы, состоящей из двух атомов, число требуемых координат равно пяти: три координаты определяют положение центра молекулы (cм.рис.45.) , кроме того молекула может вращаться в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Трехатомная молекула имеет шесть степеней свободы - добавляется еще одно направление вращения. Дальнейшее увеличение числа степеней свободы связано  с возможностями колебательных

движений. Однако положение о величине энергии, приходящейся на одну степень свободы сохраняется, и для сложной молекулы ее кинетическая энергия равна:

 Екин = . ( 11-9 )

 Cумма кинетической и потенциальной энергии взаимодействия всех молекул газа называется внутренней энергией газа U.

 U =  ( 11-10)

Для идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул между собой равна нулю, и внутренняя энергия такого газа равна суммарной кинетической

энергии хаотического движения всех его молекул.

Распределение молекул по скоростям.

 Понятие среднеквадратичной скорости было введено как результат усреднения по всевозможным значениям скоростей, которыми обладают молекулы газа. При этом предполагалось, что все направления скоростей равновероятны, т.е. распределение молекул по направлению скоростей изотропно, и усреднение велось лишь по величине скоростей. Поскольку в молекулярной физике оперируют средними значениями физических параметров, то важно уметь вычислять такие значения величин, зависящих от скорости ( энергии, импульса, момента импульса и т.д.). Из статистики известно, что этого необходимо знать так называемую функцию распределения, т.е. иметь количественную характеристику того, как раз- чаются молекулы по скоростям, или какая относительная доля молекул имеет определенную скорость ( в заданных пределах). При этом бессмысленно говорить о том, какое конкретное значение скорости имеет та или иная молекула, т.к. в газе каждую секунду происходит 5·109 столкновений, в результате которых молекулы постоянно меняют значение своей скорости. Если выбирать интервал скоростей достаточно малым, то число молекул, скорость которых лежит в этом интервале, определяется тремя факторами: общим числом молекул газа Nобщ, величиной заданного интервала скоростей dv и третьим параметром, характеризующим распределение молекул по скоростям f(v), т.е. относительной долей молекул со значениями скоростей в интересующем нас интервале dv:

  ( 11-11)

 или .

 Явный вид функции  определен Максвеллом, который для идеального газа с массой молекул m при конечной температуре Т нашел, что

 , ( 11-12 )

где k - постоянная Больцмана.

 График этой функции представлен на рис.46, откуда видно, функция имеет максимум при некотором значении скорости. Значение этой скорости легко найти по обычной процедуре исследования любой функции на экстремум: приравнивая

V1  V2

 
 f (v)

 

 

 

 

 

 

 

 

 vex v

Рис. 46.Функция распределения

 Масквелла.

к нулю первую производную f(v), получим:

 . ( 11-13)

Скорость, определяемая ( 11-13), получила название наиболее вероятной скорости.

Число молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2 (cм. рис.46) определяется площадью заштрихованной кривой, которая, как известно из математики, равна интегралу f(v) в пределах от v1 до v2 , т.е.

 . ( 11-14)

Если интервал задаваемых скоростей расширяется от нуля до бесконечности и охватывает всевозможные молекулы, то N12 Nобщ , и полная площадь, ограниченная кривой равна единице:

 Soo . ( 11-15)

 При повышении температуры очевидно, что скорости молекул увеличивают-

ся, и кривая должна расширяться в сторону больших скоростей, но ее площадь остается постоянной - кривая становится более «низкой».

Барометрическая формула.

 До сих пор предполагалось, что распределение молекул однородно по всему объему, занимаемого газом. Однако в поле внешних сил эта однородность нарушается. В качестве простого примера рассмотрим поведение газа в поле тяжести Земли. Из гидро- и аэростатики известно, что давление внутри жидкости (газа) в заданной точке определяется высотой вышележащего столба жидкости (газа) - см.

 Z

 

 

 

 p

 z+dz

 dz 

 z

 p+dp

 0 

 

Рис.47. Давление в столбе газа.

рис.47 , на котором изображен вертикальный столб газа. Пусть ось координат Z направлена вертикально вверх. Рассмотрим тонкий слой газа, нижняя поверхность которого имеет координату z, а верхняя - z + dz . При малой толщине слоя можно считать, что плотность газа r внутри слоя постоянна. Тогда по известному закону аэростатики изменение давления dp при изменении высоты столба на dz равно:

 , (11- 16)

где знак минус означает, что с увеличением высоты z давление уменьшается. Плотность газа выражается через

уравнение состояния газа в предположении о постоянстве температуры по всей высоте выделенного вертикального столба:

 ; =.

Подставляя последнее выражение в (11- 16), имеем:

 . (11-17)

или . (11-18)

Интегрируя (11-18), получаем:

 . (11-19)

Постоянную интегрирования можно определить из условия z = 0; при z = 0 р = р0, где р0 - давление на поверхности Земли. Тогда С = - ln p0 и потенцируя (11-19) можно найти:

 . (11-20)

Полученное выражение (11-20) носит название барометрической формулы. Эта формула дает лишь приближенный характер изменения атмосферного давления с высотой, т.к. в действительности температура в земной атмосфере не остается постоянной. Кроме того, воздух в ней не остается неподвижным, и происходит постоянное перемешивание слоев воздуха с различными параметрами ( температурой, влажностью и т.д.).

Понятие о распределении Больцмана.

 Преобразуем показатель степени в (11-20) с учетом того, что .

Тогда , где U(z) = mgz представляет потенциальную энергию молекулы в поле Земли. Тогда (11-20) приобретает такой вид:

 .

Величину давления р(z) можно выразить из основного уравнения кинетической теории газов через концентрацию молекул n:

 р = =  = nkT ,

откуда видно, что давление пропорционально концентрации молекул. Поэтому концентрация молекул также экспотенциально зависит от энергии:

 n(z) = n0. (11-21)

Л.Больцман обобщил эту формулу на случай произвольного распределения по энергиям некоторого числа частиц в произвольном силовом поле ( не только гравитационном поле Земли). В частности, если в системе может быть несколько энергетических уровней, то «заселенность» этих уровней определяется распределением Больцмана:

 n ( Ei) = n0  , (11-22)

т.е. при любой конечной температуре частицы распределяются так, что их число на каждом из уровней тем меньше, чем больше величина энергии этого уровня.

На главную