Лекции по физике

Вынужденные колебания и волны.

Уравнение вынужденных колебаний.

Вынужденными называются колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы. В этом случае частота колебаний не определяется параметрами самой системы, а задается внешним источником. Для груза на пружине уравнение движения может быть получено формальным введением в уравнение ( 8-8) еще одной - внешней периодической силы F(t) = F0sin wt :

 + mg - k (x +x) + F0sin wt ; ( 9-1 )

 после преобразований и обозначений, аналогичных прошлой лекции, получим: 

 f0 sin wt,  ( 9-2 )

где f0 = Остальные обозначения сохраняют свой смысл. Т.к. груз колеблется с частотой вынуждающей силы, решение дифференциального уравнения ( 9-2 ) может быть записано в следующем виде: x(t) = A sin( wt + j). Появление фазового сдвига между колебаниями груза и внешним воздействием связано с определенной инерционностью системы, реагирующей на внешнее воздействие с некоторым опозданием. Однако, для упрощения последующих выкладок, удобнее изменить начало отсчета сдвига фаз: пусть колебания груза происходят по закону x(t)= =Asinwt, а внешняя сила получает некоторое опережение по фазе, т.е.f0 sin(wt -j) =

= f (t) или заменяя j на (- y) , f (t) = f0 sin(wt +y)

 Тогда неизвестной величиной в выражении x(t) = Asinwt остается только амплитуда колебаний. Для ее определения используем векторный способ решения уравнения (9-2). Вычислим последовательно первую и вторую производные от х(t) и

 подставим эти производные в ( 9-2):  =  ; ; после приведения подобных получим: 

2bwА f0

 

 

 

 y

 

 A(-w2) Рис.35. Графическое решение уравнения

 (9-3).

. ( 9-3 )

Вспоминая, что колебания можно представлять в векторном виде, рассмотрим уравнение ( 9-3 ) как векторное: два вектора, стоящие в его левой части в сумме дают вектор в правой части (см.рис.35). Из рисунка по теореме Пифагора следует: . Тогда

 , ( 9-4 )

и  . ( 9-5 )

Из найденного выражения для амплитуды вынужденных колебаний ( 9-4 ) видно, что величина А зависит от частоты вынуждающего воздействия. Для нахождения экстремального значения этой амплитуды найдем производную знаменателя и приравняем ее к нулю: 4(, откуда следует, что «экстремальное» или резонансное значение частоты определяется как:

   . ( 9-6 )

 А 

 А рез 

 

 

 

 2Dw

 

 w

 wрез 

 Рис.36. Резонансная кривая. 

Если частота внешнего воздействия может изменяться, то в тот момент, когда ее значение совпадает с wрез , знаменатель ( 9-4 ) становится минимальным, а амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины. На практике очень часто наблюдается, что колеблющаяся система обладает слабым затуханием и b << w0 . В этом случае wрез » w0 , т.е. значение резонансной частоты совпадает с собственной частотой системы. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний до максимума, когда частота внешнего воздействия приближается к собственной частоте колебаний называется резонансом. Изменение амплитуды вынужденных колебаний в области частот,

близких к резонансной - резонансная кривая - показана на рис.36. Чтобы оценить относительное изменение амплитуды при резонансе, необходимо знать величину амплитуды на двух частотах - на резонансной и на частоте, достаточно далекой от w рез. Рассматривая (9-4) нетрудно за- метить, что такой «далекой» частотой удобно выбрать w 0.В этом случае А0=. На резонансной частоте при условии, что b << w0 и w рез » w0 , амплитуда колебаний равна 

 , поэтому отношение выбранных амплитуд = Q, т.е. амплитуда при резонансе увеличивается в Q раз ( Q - добротность системы). При достаточно высокой добротности смещение отдельных частей системы может превышать пределы допустимых деформаций, что приведет к разрушению системы. Особенно опасны такие явления там, где разрушение колеблющейся системы может повлечь за собой гибель людей, - например, на механическом транспорте. Вращение винтов, валов с определенной частотой может вызвать резонансные колебания корпусов самолетов, судов и машин. Чтобы предотвратить подобные явления, конструктора вынуждены заранее тщательно рассчитывать как собственные частоты транспортных средств, так и возможные частоты, возникающие при различных режимах работы двигателей.

 Важной характеристикой резонансной кривой является так называемая ширина кривой. Шириной резонансной кривой называют область частот, близких к резонансной частоте, на которых относительное уменьшение «реакции» системы на внешнее воздействие не превышает 30% ( точнее в 1/ раза ) относительно

« реакции» на резонансной частоте (см. рис.36). Степень задаваемого ослабления носит субъективный характер и связана со слухом человека. Многочисленные измерения показали, что человек « на слух» различает громкости различных источников звука, если их амплитуды отличаются на 30%. Если громкости отличаются на меньшую величину, то человек воспринимает как одинаковые. Другими словами, все звуки при их резонансном усилении, лежащие в области ширины резонансной кривой, будут казаться человеку звуками с одинаковой громкостью. Это важно учитывать при конструировании и изготовлении музыкальных инструментов. 

На главную