Математическая физика Методика решения задач по электротехнике Основы электроники Начертательная геометрия На главную

Начертательная геометрия

Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства

В начертательной геометрии принято от пространственного изображения точки и ее проекций переходить к плоскому, или комплексному, чертежу, образованному вращением плоскости проекций вокруг осей проекций (рис., 1.10.).

Рис. 1.10.

Сохраняя неподвижной фронтальную плоскость проекций П2, горизонтальную плоскость П1 поворачивают вокруг оси Ох вниз на 90о, а профильную – вокруг оси Оz вправо на 90о до их совмещения с фронтальной плоскостью проекций. Направление изображения показано на рис. 1.6.. стрелками. Полученное изображение трех плоскостей проекций вместе с изображенными на них проекциями А1, А2, А3 точки А называют комплексным чертежом точки А. на комплексном чертеже ось Оу раздваивается и кроме вертикального положения Оу1 (вниз от точки О) занимает и второе – горизонтальное положение Оу3 (вправо от точки О).

Прямую, соединяющую две проекции точки на комплексном чертеже, называют линией связи.

Из анализа рис. 1.7.. вытекают следующие основные положения:

а) горизонтальная А1 и фронтальная А2 проекции точки всегда расположены на вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций Ох;

б) Фронтальная А2 и профильная А3 проекции точки всегда расположены на горизонтальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций ОZ;

в) горизонтальная А1 и профильная А3 проекции точки всегда расположены на линиях связи, пересекающихся на биссектрисе угла у1Оу3. Эта биссектриса получила наименование постоянной прямой чертежа (линия К), а линия связи А1А0А3 – ломаной или горизонтально- вертикальной линии связи.

В начертательной геометрии часто приходится решать задачи на построение третьей проекции фигуры по двум данным. Для этого прежде нужно научиться строить третью проекцию точки, если известны две ее проекции. Выполнить это можно тремя способами.

Проекционный способ (рис 1.7.). Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 опускают перпендикуляр на ось Оу1, получают точку Ау1, и при помощи циркуля или прямоугольного равнобедренного треугольника находят на оси Оу3 положение точки Ау3. из этой точки проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией связи, проведенной из А2. Точка А3 – профильная проекция точки А.

Координатный способ. Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Измеряют циркулем расстояние оп проекции А1 до оси Ох (глубину точки, или координату уА) и откладывают этот отрезок на линии связи вправо от точки АZ. Получают профильную проекцию А3.

Способ с использованием постоянной прямой чертежа. Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 проводят линию связи до пересечения в точке А0 с постоянной прямой К, т.е. биссектрисой угла у1Оу3. из точки А0 проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией, проведенной из фронтальной проекции А2.

Предпочтительней второй и третий способы, требующие меньшего числа построений и позволяющие использовать чертежные приборы.

В пространстве может быть взято множество точек, занимающих по отношению к плоскостям проекции различное положение. Например, пирамида и срезанный параллелепипед имеют 13 вершин- точек, различно расположенных относительно плоскостям П1, П2, П3. Чтобы определить положение каждой из этих точек в отдельности, нужно знать три ее измерения- широту, высоту, глубину.

Рис. 1.11.

Z – высота точки (рис. 1.11.) определяется ее расположением от горизонтальной плоскости проекций или удалением ее фронтальной проекции А2 от отчки Ох (АА1 = А2Ах).

У – глубину точки измеряют ее расстоянием от фронтальной плоскости проекций или удалением ее горизонтальной проекции А1 от оси Ох (АА2 = А1Ах).

Х – широтой точки является ее удаление от профильной плоскости проекций или расстояние от точки АХ до начала осей проекции О (АА3 = АХО). Все эти утверждения вытекают из рассмотрения треугольников АА1АХА2 и АА1АУА3.

Если принять плоскость и оси проекции за координатные плоскости и оси координат х у, z, то положение любой точки пространства может быть задано тремя ее координатами. В этом случае отрезок АА3 = АХО выражает координату х, т.е. расстояние от точки до плоскости П3, отрезок АА2 = А1АХ – координату у, т.е. расстояние от точки до плоскости П2, и отрезок АА1 = А2АХ – координату z, т.е. расстояние от точки до плоскости П1. Запись типа А (10, 16, 8) означает, что координата х точки А равна 10мм, координата у=16 мм, координата z= 8 мм.

Рассмотрим на примере построение проекций точки по ее координатам (измерениям). Задана точки А (25, 15, 20), т.е. х = 25мм, у = 15мм, z = 20мм. Нужно построить комплексный чертеж точки в системе трех плоскостей проекции.

Рис. 1.12.

Проводят оси Ох, Оу, Оz (рис. 1.12.). По оси Ох влево от точки О откладывают координату х = 25мм и через полученную точку Ах проводят вертикальную линию связи. На этой линии вниз от Ах откладывают значение координаты у = 15мм и получают горизонтальную проекцию А1 точки А. на этой же линии вверх от Ах откладывают значение координаты z = 20мм и получают фронтальную проекцию А2 точки А. Найденные проекции А1 и А2 определяют положение точки. Если нужно построить третью, профильную, проекцию, из проекции А2 проводят горизонтальную линию связи и откладывают вправо от точки Аz отрезок, равный значению координаты у (АяА3 = 15мм). А3 – профильная проекция точки А.

На рисунке 1.13. построены комплексные чертежи точек В (20,0,5) и С (15,0,0).

Рис. 1.13.