Математическая физика Методика решения задач по электротехнике Основы электроники Начертательная геометрия На главную

Начертательная геометрия

Аксонометрические проекции.

Основные понятия и определения.

Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построения.

Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием при условии, что предмет проецируется вместе с координатной системой.

Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельно лучам на плоскость вместе с координатной системой.

На рисунке 11.1 показана точка А, отнесенная к системе прямоугольных координат xyz.

Проекции координатных осей пространственной системы называются аксонометрическими осями.

Рисунок 11.1

Вектор определяет направление проецирования на картинную плоскость П´ (плоскость проекций).

Для создания аксонометрической (в нашем случае параллельной) проекции точки А проведем через нее проецирующий луч (параллельно вектору ) и найдем пересечение его с плоскостью П´ в точке А´. это построение показывает, что при заданном направлении проецирования каждой точке А пространства на плоскости проекций соответствует определенная точка А´.

Но обратное, как известно, утверждать нельзя. Действительно, каждой точке А´ на плоскости П´ соответствует любая точка проецирующего луча А´А.

Для того чтобы устранить эту неопределенность и обеспечить взаимную однозначность между точками пространства и точками картинной плоскости, поступают следующим образом: на плоскости П´ проецируют не только точку А, но и одну из ее ортогональных проекций (обычно горизонтальную проекцию А1).

Аксонометрическую проекцию А´1, горизонтальной проекции точки А принято называть вторичной проекцией.. Этот термин хорошо выражает тот факт, что точка А´1 получается в результате двух последовательных проецирований.

Рассмотрение того же рисунка 11.1 позволяет сделать вывод о том, что если заданы система координат xyz, направление проецирования , и плоскости П´, то аксонометрическая проекция и ее вторичная проекция однозначно определяют положение точки в пространстве. Действительно, проведя через вторичную проекцию А´1 точки А прямую, параллельную , и определив точку пересечения этой прямой с координатной плоскостью xOy, найдем горизонтальную проекцию А1 точки А. Положение же точки А в пространстве определяется пересечением двух прямых А´А и А1А, первая из которых проходит через А´ параллельно , а вторая – через А1 перпендикулярно плоскости xOy.

На плоскости картины П´ (рисунок 11.1) показана и аксонометрическая проекция осей координат – плоская система x´y´z´. В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций.

Искажение отрезков осей координат при их проецировании на плоскость П´ характеризуется так называемыми коэффициентами искажения. Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси на картине к его истинной длине. Так, коэффициент искажения по оси x´ u = , по оси y´ v = и по оси z´ w = (рисунок 11.1).

Зная коэффициенты искажения и свойства взаимного расположения точек, линий и плоскости фигур, которые сохраняются при их параллельном проецировании, можно построить аксонометрическое изображение точки А. это изображение определяется как граничная точка координатной ломанной, состоящей из отрезков длиной x´A, y´A, z´A, отложенных от начала аксонометрических осей О´ на соответствующих прямых, параллельных этим осям (рисунок 11.2) или совпадающих с ними.

Рисунок 11.2

Построение координатной ломанной требует измерения трех прямоугольных координат точки x, y, z, перевода их при помощи коэффициентов искажения в аксонометрические и, наконец, вычерчивание этой ломаной, при построении которой попутно находится и одна из вторичных проекций точки.

Виды аксонометрических проекций.

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения, аксонометрические проекции могут быть:

- изометрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой; в этом случае u = v = w;

- диметрическими, если коэффициенты искажения по двум любым осям равны между собой, а по третьей – отличается от первых двух;

например, u = v ≠ w;

- триметрическими, если все три коэффициента искажения по осям различны, т.е. когда u ≠ v ≠ w, u≠w.

Аксонометрические проекции различаются так ж е и по тому углу φ, который образуется проецирующим лучом с плоскостью проекции П´. Если φ≠900, то аксонометрическая проекция называется косоугольной, а если φ = 900 – прямоугольной.

Естественно, что изометрические, диметрические и триметрические проекции могут быть как прямоугольными, так и косоугольными.

Треугольник следов и его свойства. Теорема Польке.

Треугольник следов и его свойства.

В общем случае плоскость картины пересекает координатные плоскости по линиям, которые своими отрезками образуют так называемый треугольник следов (рисунок 11.3, 11.3а)

Рисунок 11.3 Рисунок 11.3а

Изображение имеет главную и вторичную проекции. Главной называется изображение А´ самой точки А; вторичной – изображение первичной проекции точки на какой – либо плоскости координат П1 П2 П3. Вторичных проекций может быть три, но преимущественно используется вторичная проекции на горизонтальной плоскости. При необходимости по главной и вторичной проекции могут быть построены и другие вторичные проекции на П2 и П3.

Таким образом, в аксонометрии имеется два поля проекций: поле главной и поле вторичной проекций. Обычно в начале строится вторичная проекция, а затем главная.

В этом плане аксонометрия не имеет принципиального отличия от ортогональных проекций, о чем свидетельствует решение задачи определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной отсеком, аналогично решению в ортогональных проекциях (рисунок 11.4)

Рисунок 11.4

Аксонометрическое изображение (главная и вторичная проекции оригинала) с осями и масштабами являются обратимой проекцией и позволяет восстановить объект в пространстве.