Математическая физика Методика решения задач по электротехнике Основы электроники Начертательная геометрия На главную

Начертательная геометрия

Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже.

Касательные плоскости широко применяются при решение различных позиционных задач на поверхности.

1. Построение касательных плоскостей к поверхностям является основой теорией теней. При построении теней касательные плоскости к поверхностям строят или проходящими через точку, лежащую на поверхности, или параллельными заданному направлению.

2. Касательными плоскостями к поверхностям конуса и цилиндра, параллельными заданному направлению, пользуются для определения наиболее близкой и наиболее удаленной от плоскостей проекций точек кривой линии пересечения этих тел плоскостью общего положения, не строя эти кривые (см. Бубеннщив § 68).

3. Касательные плоскости используют при построении соприкасающихся однополосных гиперболоидов вращения при проектировании гиперболических зубчатых колес. В передачах с перекрещивающимися валами. (см. Бубеннщив § 68)

4. Касательные плоскости применяются и при построении очертаний поверхностей (очерков).

Рассмотрим эту задачу более подробно.

Как известно, очерк поверхности (тела) получается как проекция контурной линии на заднюю плоскость проекций (например П1) (см. рис. 7.5). Напомним, что контурная линия – это линия, по которой множество плоскостей Р, перпендикулярных плоскости П1, касаются данного тела Т (рис. 10.13) . Огибающей этого семейства касательных плоскостей будет некоторая цилиндрическая лучевая поверхность Ф, тоже перпендикулярная П1.

Рисунок 10.13

Контурная линия m делит тело на две части, одна из которых видимая на заданной плоскости проекций П1, а другая невидимая. В любой точке на контурной линии обе поверхности – тело и цилиндрическая лучевая – имеют общую касательную плоскость Р. Линия пересечения m1 лучевой цилиндрической поверхности Ф с плоскостью П1 и является очерком тела. Если при этом принять, что цилиндрическая лучевая поверхность состоит из световых лучей, касающихся непрозрачного тела, то очерк тела – линия, ограничивающая тень тела на плоскости П1. Эту линию на плоскостях проекций называют также линией видимости.

На рисунке 10.13 видно, что очерком шара плоскости П1 будет проекция экватора m (m1), которая на плоскость П2 спроецируется в виде прямой параллельной оси ОХ. Очерком шара на плоскости П2 будет проекция его главного меридиана.

На рисунке 10.14 будет прямоугольник (главный меридиан). Очерк на плоскости П1 определяется двумя касательными лучевыми плоскостями перпендикулярными к плоскости П1. Эти плоскости касаются цилиндра по двум крайним образующим АВ и СD, проекции которых на плоскости П2 совпадают. Горизонтальные проекции А1В1 и С1D1 вместе с наружными поверхностями (проекциями кругов оснований) и определяют очерк цилиндра на плоскости П1.

Рисунок 10.14

В общем случае для построения очерка тела на плоскости П1 надо сначала на плоскости П2 построить проекцию контурной линии, по которой тело обертывается цилиндрической лучевой поверхностью, а затем спроецировать ее на плоскость П1.

Построение контурной линии проще всего осуществить с помощью вписанных сфер.

Пример 8. Построить на горизонтальной проекции очерк конуса, ось которого i параллельна плоскости П2 и наклонена к плоскости П1. (рис. 10.15)

Решение. Не трудно видеть, что очерк конуса на плоскости П2, ограниченный главным меридианом m, полностью задает форму поверхности конуса.

Рисунок 10.15

А для построения горизонтального очерка из любой точки С (С2) лежащей на оси i, проводим сферу, касающуюся конуса по окружности k (k2). Ее фронтальная проекция является прямой перпендикулярной оси (i2), как соосные тела.

Проводим через центр сферы экватор q2 и находим точку А2 его пересечение с окружностью k2. Соединив точки S2 и А2 получим контурную линию. Спроецировав точку А2 на горизонтальную проекцию экватора получим две точки А1, которые вместе с вершиной S1 и задают горизонтальный очерк контура n1. Заметим, что фронтальная проекция n2 горизонтального очерка не совпадает с проекцией оси i2.

Пример 9. Построить на горизонтальной проекции П1 Очерк деталей вращения, ось I которой параллельна плоскости П2 и наклонена к плоскости П1. Поверхность детали состоит из конуса вращения (S, k) и тора, образующей которого является дуга окружности радиусом R с центром в точке О. (рис. 10.16)

Рисунок 10.16

Решение:

1. Очерк фронтальной проекции – это главный меридиан – полностью задает форму детали.

2. Очерк горизонтальной проекции составляется из эллипса верхнего основания, пространственной кривой и очерка конуса.

3. Эллипс строим по двум осям – малой 1121 и большой 1222.

4. Очерк конуса строим по примеру 8 (рис. 10.15 ).

5. Далее необходимо построить контурную l2 линию, по которой цилиндрическая лучевая поверхность перпендикулярная к плоскости П1, касается поверхности тора.

6. Для построения контурной линии на поверхности тора впишем в него ряд сфер. Центры сфер С2 лежат в точках пересечения оси вращения i2 с радиусом R, проведенным из точки О2 к меридиану. Сферы касаются тора по параллелям k2.

7. Плоскости, касательные к тору, являются касательными и вспомогательных сфер в точках А2 пересечения экваторов q2 сфер параллелями k2.

8. Горизонтальные проекции А1 этих точек определяются в пересечении линий связи с горизонтальной проекцией экватора q1.

9. Аналогичными построениями находят еще ряд точек (например В2). Множество точек образуют контурную пространственную кривую l2.

10. Горизонтальная проекция l1 даст очертания тора.

11. Итак, очерком детали является составная плоская кривая из очерков контура n1, тора l1 и эллипса.

Касательные плоскости. Построение плоскости, касательной к кривой поверхности. Плоскостью, касательной к поверхности, называется плоскость, определяемая двумя прямыми, касательными к двум пересекающимся линиям, принадлежащим этой поверхности.

Касательные плоскости к линейчатым поверхностям с параболическими точками. Линейчатая поверхность с параболическими точками – это конус и цилиндр, каркас которых множество прямых – образующих.

Касательные плоскости к не линейчатым поверхностям с эллиптическими точками. Для построения касательной плоскости в заданной точке поверхности вращения, прежде всего, необходимо через заданную точку провести по поверхности две кривые линии. Касательные прямые к ним и определяют искомую касательную плоскость. За кривые линии обычно принимают параллель (окружность) и меридиан.

Аксонометрические проекции. Основные понятия и определения. Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построения.