Математическая физика Методика решения задач по электротехнике Основы электроники Начертательная геометрия На главную

Начертательная геометрия

Пересечение кривой поверхности прямой.

Пересечение прямой с поверхностью Для того чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью любого тела (цилиндр, конус, шар и т. д.), поступают точно также, как и при нахождении точки пересечения прямой с плоскостью, а именно:

заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость;

находят линию (кривую) пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью;

на пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки .

В частном случае прямая линия может быть касательной к поверхности.

Указание. При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскости проекций в виде простейших линий – прямой или окружности.

Пример 1. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра (рис. 8.12; 8.13). проведем через прямую вспомогательную плоскость, параллельную образующим цилиндра. Для этого через точки А и В проведены прямые , параллельные образующим цилиндра. Найдены их горизонтальные следы M и N. Точки Р и Q1 пересечения горизонтального следа вспомогательной плоскости с основанием цилиндра определяют положения образующих PK1 и QK2 по которым вспомогательная плоскость пересекается с цилиндром. Точки K1 и K2 - искомые точки. На рис. 8.13 эта задача решена на комплексном чертеже. Если бы через прямую АВ провели вспомогательную проектирующую плоскость, то в сечении получился бы эллипс, который дал бы возможность найти точки K1 и K2, но решение задачи было бы сложнее.

Рисунок 8.12

Рисунок 8.13

Пример 2. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса (рис. 8.14). Проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость ABS, проходящую через вершину конуса. Соединим прямыми концы отрезка АВ (или его промежуточные точки) с проекциями вершины конуса и найдем горизонтальные следы прямых SA и SB. Точки M и N определят плоскость, пересекающуюся с конусом. Точки K1 и K2 пересечения этих образующих с прямой АВ являются искомыми точками. На рис. 8.15 эта задача решена на комплексном чертеже. Горизонтальный след вспомогательной плоскости мог не пересечься с основанием конуса или только прикоснуться к нему. В этом случае прямая АВ не пересеклась бы с поверхностью конуса или только прикоснулась бы к нему.

Рисунок 8.14

Рисунок 8.15

Пример 3. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью шара (сферой) (рис. 8.16).

Решение. Заданную прямую АВ заключаем во вспомогательную плоскость, например в горизонтально проецирующую Р. Эта плоскость пересечется со сферой по окружности диаметра 12, которая спроецируется на П1 в отрезок прямой 1121, совпадающий с Р1, а на П2 – в эллипс. Чтобы избежать построения эллипса, целесообразно плоскость П2 заменить новой плоскостью П4║Р. На П4 указанная окружность спроецируется в окружность l4, выражающую ее натуральную величину. Диаметр этой окружности d=1424=1121=12, а центр ее совпадает с новой проекцией О4 – центра сферы на П4. Далее строим проекцию А4В4 отрезка АВ заданной прямой . Точка М4=А4В4l4 и точка N4=A4B4l4 являются проекциями на П4 искомых точек М и N – входа и выхода прямой АВ. Обратным переносом находим проекции этих точек на П1 (M1 и N1) и на П2 (M2 и N2).

Рисунок 8.15

Построение линии пересечения двух поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей (плоскостей посредников)

Взаимное пересечение поверхностей

Две поверхности пересекаются между совой по кривой или ломаной линии. Эту линию часто называют линией перехода. Для определения линии перехода находят точки, принадлежащие обеим поверхностям. Если хотя бы одна из заданных поверхностей является линейчатой или многогранником, то линию перехода можно построить, найдя точки встречи ребер или образующих этой поверхности, и соединить их в надлежащим порядке.

Другим способом нахождения линии перехода является применение вспомогательных поверхностей-посредников, которыми пересекают обе заданные поверхности . Чаще всего в качестве поверхностей–посредников применяют плоскости, а также сферы.

Вспомогательные плоскости и сферы следует выбирать так, чтобы линии их пересечения с заданными поверхностями получались удобными и простыми для построения (по возможности прямыми или окружностями).

Рисунок 8.16

Построение линии пересечения поверхностей при помощи плоскостей- поверхностей

Рисунок 8.16

На рис. 8.16 показаны две поверхности F и S, пересеченные плоскостями-посредниками Р1 и Р2. ПлоскостьР1 пересекает заданные поверхности по двум кривым l` и m` (соответственно).Точки M`=l`m` и N`=l`m` пересечения этих линий принадлежат искомой линии пересечения данных поверхностей. Аналогично находят точки M2 и N2, полученные с помощью плоскости Р2. Поверхностей посредников должно быть взято столько, сколько необходимо для того, чтобы полностью построить требуемую линию пересечения данных поверхностей. В случае построения линии пересечения поверхностей многогранников в качестве плоскостей- посредников удобно пользоваться проецирующими плоскостями.

Для построения линии пересечения поверхностей конуса, пирамиды, цилиндра и призмы бывает целесообразно брать такие плоскости- посредники, которые пересекают эти поверхности по образующим или ребрам. Если хотя бы одна из пересекающихся является сферой, удобно в качестве посредников применять плоскости уровня, так как сечения сферы в этом случае проецируется на одну из плоскостей проекций в виде окружностей, а на другую в виде отрезков прямой. В зависимости от взаимного расположения поверхностей линий пересечения может быть одна (в случае врезания) или две (в случае проницания).

Пересечение поверхностей конуса и шара.

На рис 8.17 показаны конус вращения и сфера. Первую плоскость-посредник Т проведем через ось конуса, параллельно П2. Так как в данном случае плоскость Т пройде через центр О сферы, то она пересечет и конус, и сферу по их очеркам. Эти очерки пересекутся в точках 12 и 22, п принадлежащих фронтальной проекции искомой линии. Горизонтальные проекции 11 и 21 тех же точек находятся на Г1 . Затем проводим плоскость Р║П1 через центр О сферы. Плоскость Р пересечется с конусом по окружности радиусом АВ, а со сферой – по окружности радиуса СО , являющейся очерком сферы. Проекции указанных окружностей на П1 пересекутся в точках 31 и 41, которые принадлежат горизонтальной проекции искомой линии и отделяют видимую часть этой проекции от невидимой. Проекции 32 и 42 на П2 тех же точек 3 и 4 сливаются в одну точку на следе.

Для построения добавочных точек линии перехода следует провести плоскости-посредники параллельно П1 между точками 1 и 2. На рис. 8.17 проведена плоскость Q и построены проекции точек 5 и 6. Все найденные проекции точек, принадлежащих линий перехода, соединяем в следующем порядке: на П1 – 11, 31, 51, 21, 61, 41, 11, и на П2 – 12, 32, 52, и 22. На П1 участок кривой 31 11 41 будет видимым, а участок 31 21 41 – невидимым. На П2 видимая часть кривой 12 42 22 и не видимая – 12 32 22 совпадают.

Рисунок 8.17

8.4 Построение линии пресечения двух поверхностей методом секущих сфер (концентрических сфер посредников)

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения при условии, что оси поверхностей пересекаются между собой и параллельны одной из плоскостей проекций. Известно, что если сфера имеет центр на оси заданной поверхности вращения и пересекает эту поверхность, то линия пересечения будет окружностью. Если к тому же ось вращения заданной поверхности параллельна одной из плоскостей проекций , то указанная окружность проецируется на эту плоскость в отрезок прямой, перпендикулярной проекции оси вращения на ту же плоскость. На рис. 8.18 показано построение линии пересечения параболоида вращения с конусом вращения.

Для нахождения искомой линии в начале следует провести плоскость-посредник Р через оси заданных поверхностей и найти линии ее пересечения с параболоидом и конусом. На плоскости П2 эти линии будут очерками заданных поверхностей. Точки 12, 22, 32, 42 пересечение очерченных линий рассматриваемых поверхностей принадлежат искомой линии перехода. Для нахождения других точек линии сечения опишем из точки О сферу таким радиусом, чтобы она пересекала заданные поверхности. На плоскости П2 эта сфера проецируется в окружность, пересекающую очерки параболоида в точках А2, В2, С2, D2 и конусов в точках Е2, F2, G2, H2. Отрезки А2В2 и С2D2 являются проекциями на П2 окружностей, по которым проведенная сфера пересекается с параболоидом. Отрезки E2F2 и G2H2 -проекции на П2 окружностей, по которым та же сфера пересекается с конусом. Точка 52=C2D2E2F2 и точка 62=C2D2G2H2 принадлежат проекции на П2 искомых линий перехода (в данном случае их две). Число сфер-посредников следует брать таким, чтобы полученных точек искомой линии перехода было достаточно для ее построения.

Рисунок 8.18

Найденные точки 12, 52, 22 и 32, 62, 42 нужно соединить плавными кривыми, которые и будут видимыми участками фронтальных проекций искомых линий перехода. Границей видимых этих линий на П2 является очерковая линия заданного параболоида невидимые участки проекции линии перехода совпадают с видимыми и потому невидимые точки 5'2 и 6'2 на рис. 8.18 не показаны.

Если требуется построить и горизонтальную проекцию, то на П1 проводят окружность, в которую проецируются линии пересечения параболоида с каждой сферы-посредником, и на этих окружностях находят точки 51, 5'1 и 61, 6'1. Точки 11, 21, и 31, 41 находятся на следе Г1. Соединение полученных горизонтальных проекций точек линий перехода должно быть произведено в следующем порядке: 11, 51, 21, 5'1, 11, и 31, 61, 41, 6'1, 31. Границами видимости этих кривых на полкости П1 будут очерковые образующие конусы.

8.5 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.

На рис. 8.19, 8.20, 8.21 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае рис. 8.19 цилиндр врезается в конус, потому что, если вписывать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором случае рис. 8.20 конус врезается в цилиндр, т. к. сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем случае рис. 8.21 сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра и конуса в этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).

Рисунок 8.19

Рисунок 8.20

Рисунок 8.21

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум кривым второго порядка. Такие поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, или говорят что поверхности имеют двойное соприкосновение. Линия пересечения двух поверхностей вращения, имеющих двойное прикосновение, распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 8.22). Две цилиндрические поверхности вращения одного диаметра касаются друг друга в точках А и В или имеют общие касательные плоскости Ф1 и Ф2. Линия АВ занимает фронтально проецирующее положение, поэтому плоскости кривых пересечения будут фронтально проецирующими. Эллипсы ACBF иAEBD изображаются отрезами прямых на фронтальной плоскости проекций и окружностями, совпадающими с выраженной проекцией вертикального цилиндра на горизонтальной плоскости проекций. Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 8.23).

Рисунок 8.23