Математическая физика Методика решения задач по электротехнике Основы электроники Начертательная геометрия На главную

Начертательная геометрия

Взаимное пересечение многогранников

Что касается линии взаимного пересечения двух многогранников, то она определяется по точкам пересечения рёбер одного многогранника с гранями другого: это известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью (рис 5.6), хотя возможен вариант построения линии пересечения граней многогранников , т.е. линии пересечения двух плоскостей.

Рис. 5.6

На рис. 5.6 приведен пример построения линии пересечения прямой четырехгранной призмы и трёхгранной пирамиды. При решении задачи используем алгоритм построения точек пересечения ребер пирамиды (AS, BS и CS) с гранями призмы. Точки 7 и 8 пресечения пирамиды с одним ребром призмы с помощью горизонтально-проецирующей плоскости Р, проведенной через вершину пирамиды S и вышеуказанное ребро призмы.

В общем случае два многогранника пересекаются по линии, являющейся пространственным замкнутым многоугольником.

Линиями пересечения двух выпуклых многогранников являются один или два пространственных многоугольника.

При частичном пересечении многогранников имеет место неполное проницание или врезка, а при полном – полное проницание.

Следует помнить, что проекции линии пересечения двух многогранников всегда (!) располагаются внутри контура наложения одноименных проекций многогранников.

Пересечение многогранников с кривой поверхностью

Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью состоит из плоских кривых, каждая из которых получается в результате сечения кривой поверхности одной из граней многогранника. Точки, в которых эти плоские кривые соединяются друг с другом, являются точками пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Таким образом задача на построение линии пересечения многогранника с кривой поверхностью может быть сведена к задачам на пересечение кривой поверхности с плоскостью и прямой линией.

Построение линии пересечения начинают с определения опорных точек (точек пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью), а затем определяют достаточное количество произвольных точек.

На рис. 5.10 показано построение линии пересечения трёхгранной призмы со сферой, а на рис. 5.11 – линии пересечения четырёхгранной призмы с цилиндром.

На рис. 5.10 одна из проекций линии пересечения (горизонтальная) известна, т.к. сливается с горизонтальной проекцией боковой поверхности призмы, что упрощает построение. Оно сводиться к нахождению фронтальных проекций точек принадлежащих поверхности сферы, по их горизонтальным проекциям. Так проекция С2 найдена при помощи горизонтали на поверхности сферы: эта горизонталь имеет радиус О1С1. Точки А2 и Е2 получены на фронтальной проекции главного меридиана сферы по проекциям А1 и Е1, точка D2 – на фронтальной проекции экватора. На задней грани линия пересечения – дуга с радиусом D1З1, а на боковых гранях – дуги эллипсов.

Рис .5.10

На рис. 5.11 каждая грань призмы пересекает цилиндрическую поверхность по эллипсу; эти эллипсы пересекаются между собой в точках, которые являются точками пересечения рёбер призмы с цилиндрической поверхностью. Фронтальные проекции этих точек определяются по их профильным проекциям. Для любой точки Е по её профильной проекции находим Е2. Точки А2 и В2 определяются по их горизонтальным проекциям.

Рис. 5.11

5.7. Развертка многогранных поверхностей методом нормального сечения

Разверткой многогранника называется плоская фигура, составленная в определенном порядке из граней многогранника.

Развертку можно получить, если совместить все грани многогранника с плоскостью одной из его граней последовательным вращением их вокруг рёбер. Развёртка широко применяется при изготовлении изделий из листовых материалов.

Для построения развертки необходимо иметь все грани многогранника в натуральную величину.

В практике существуют три способа построения развертки многогранников.

Способ нормального сечения – для наклонных призм под произвольными углами к плоскостям проекций (алгоритм построения: пересекают призму плоскостью, перпендикулярной к ребрам, находят натуральную величину фигуры сечения, строят развертку) – рис. 5.7.

Рис. 5.7

5.8. Развертка многогранных поверхностей методом раскатки

Способ раскатки (вращают грани призмы последовательно вокруг одного ребра до совмещения с плоскостью чертежа – получают боковые рёбра призмы и основания в натуральную величину) – для призм, у которых основания параллельны одной плоскости проекций, а боковые рёбра – другой (рис. 5.8).

Рис. 5.8

Пример: Построить развертку боковой поверхности наклонной трёхгранной призмы ABCDE (рис. 5.8)

Рис. 5.8

Решение: Примем за плоскость развертки плоскость Р, походящую через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проекции. Совместим грань ADEB с плоскостью Р. Для этого мысленно разрежем боковую поверхность призмы по ребру AD. А затем осуществим поворот грани ADEB вокруг ребра AD (A2D2).

Для нахождения совмещенного с плоскостью Р положения ребра В0Е0 из точки В2 проводим луч, перпендикулярный к A2D2, и засекаем на нем дугой радиуса А1В1, проведенной из центра А2, точку В0. Через В0 проводим прямую В0Е0, параллельную (A2D2).

Принимаем совмещенное положение ребра В0Е0 за новую ось вращения и поворачиваем вокруг неё грань BEFC до совмещения с плоскостью Р. Для этого из точки С2 проводим луч, перпендикулярный к совмещенному ребру В0Е0, а из точки В0 – дугу окружности радиусом, равным В1С1; пересечение дуги с лучом определит положение точки С0. Через С0 проводим С0F0 параллельно В0Е0. Аналогично находим положение ребра A0D0. Соединив точки A2B0C0A0 и D2E0F0D0 прямыми, получим фигуру A2B0C0A0D0F0D0E0D0 – развертку боковой поверхности призмы. Для получения полной развертки призмы достаточно к к-л из звеньев ломаной линии A2B0C0A0 и D2E0F0D0 пристроить треугольники основания А0В0С0 и D0E0F0.

Развертка многогранных поверхностей методом треугольников (триангуляции)

Способ триангуляции (треугольников) – применяют прежде всего для пирамид, в случае призм разбивают боковые грани их диагоналями; затем находят натуральную величину каждого треугольника-боковой грани и основания, после чего строят последовательно эти треугольники и основание на плоском чертеже (рис. 5.9).

Пример: Построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC (рис. 5.9).

Решение: Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды. На рис. 5.9 определение длин ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i ? S и i  П1. Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью Р (плоскость РП2 и Р ? i). После того, как определены длины ребер S2A0, S2B0, S2C0, приступаем к построению развертки. Для этого через произвольную точку S0 проводим прямую D. Откладываем на ней от точки S0 (S0A0)  (S2A0). Из точки А0 проводим дугу радиусом rI = (А1В1), а из точки S0 – дугу радиусом RI = (S2B0).Пересечение дуг укажет положение вершины В0  S0A0B0  SAB – грани пирамиды. Аналогично находятся точки С0 и А0. Соединив точки А0В0С0А0, получим развертку боковой поверхности пирамиды SABC.

Полная развертка пирамиды получиться при построении на любой стороне основания его фигуры (в данном случае А0В0С0).

Рис. 5.9


ремонт паркетного пола видео.