Примеры решения задач Конспекты Контрольная работа Задачник Справочник по физике

Физика. Примеры решения задач контрольной работы

При описании движения абсолютно твердого тела используются следующие соображения.

Любое плоское движение твердого тела можно представить как  б) Зависимость скорости от времени получим, диф-ференцируя равенство (8):

. (9)

Полученные зависимости представлены графически на рисунке и имеют ясный физический смысл, который мы предлагаем продумать читателю самостоятельно.

* Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды и перпендикулярной берегам скоростью Vотн = 0,3 м/с. Ширина реки равна H = 63 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону , где y – расстояние от берега, u0 – константа, равная 5 м/с. Найти снос лодки L вниз по течению от пункта ее отправления до места причаливания на противоположном берегу. Законы Ньютона образуют основу динамики — раздела механики, рассматривающего взаимодействие тел.

Решение

 Как известно, механическое движение всегда носит относительный характер – его характеристики различны в разных системах отсчёта. Поскольку в задаче дана скорость лодки относительно воды, будем использовать две системы отсчёта – «неподвижную», связанную с берегом, и «движущуюся» – связанную с водой в реке. Направим координатные оси обеих систем отсчёта вдоль берега (OX) и перпендикулярно к нему (OY). Скорость лодки относительно неподвижной системы отсчёта по закону сложения скоростей Галилея, выполняющемуся в рамках классической механики, равна сумме скорости лодки относительно движущейся системы отсчёта (воды) и скорости движущейся системы отсчёта относительно неподвижной (берега):

V = Vотн + u.

Сложное движение лодки можно представить как сумму двух более простых – вдоль берега и перпендикулярно к нему. Первое происходит со скоростью движения относительно воды Vотн, второе – со скоростью воды относительно берега u(y). Поскольку вдоль оси OY движение является равномерным закон этого движения можно записать в виде:

y(t) = Vотн×t.  (1)

Это позволяет определить зависимость изменения скорости лодки вдоль оси OX от времени. Последнее необходимо для определения изменения координаты в каждом направлении, как интеграл соответствующих функций скорости по времени в пределах «времени переправы» t:

, (2)

. (3)

Интеграл в равенстве (2) легко вычисляется и, поскольку ширина реки H известна, это позволяет найти время переправы:

. (4)

Для определения сноса лодки вниз по течению L = x(t) придётся провести довольно кропотливую, но несложную процедуру вычисления соответствующих интегралов:

[подставим найденное ранее значение t = H/Vотн]

 

.

Итак, снос лодки с учётом численных данных задачи равен:

м.

Сложение гармонических колебаний двух частот

В системе с одной степенью свободы могут существовать колебания только с одной частотой. Для того чтобы в системе могли наблюдаться колебания с различной частотой, нужно много степеней свободы. Если осциллятор с двумя степенями свободы, то в нем могут наблюдаться колебания с двумя частотами. В качестве примера системы с двумя степенями свободы рассмотрим два пружинных маятника.

Пусть в положении равновесия все пружины недеформированные. Координаты каждого из грузиков будем определять по отношению к его положению равновесия. Тогда уравнения грузиков будут:

m1(d2x1/dt2) = -k1 x1 – k2 (x1 – x2)

m2(d2x2/dt2) = -k3 x2 – k2 (x2 – x1)

Эту систему можно переписать в виде:

d2x1/dt2 = -a11x1 – a12x2 a11 = (k1 + k2)/m1 и так далее.

d2x2/dt2 = -a21x1 – a22x2

 Решение этой системы будем искать в виде:

x1 = A1cos(ωt + φ)

x2 = A2cos(ωt + φ)

Подставим в уравнение:

-ω2 x1 = -a11x1 – a12x2 

-ω2 x2 = -a21x1 – a22x2 


(a11 - ω2) x1 + a12x2 = 0

(a22 - ω2) x2 + a21x1 = 0

Как известно, система линейных однородных уравнений имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю.

(a11 - ω2)(a22 - ω2) -a21 a21 = 0

Это условие приводит к биквадратному уравнению для ω, из четырех корней которого выбираем два положительных: ω1 и ω2. Тогда решение будет иметь вид:

x1 = A1cos(ω1t + φ1) + A1cos(ω2t + φ1) = 2 A1cos[(ω1 – ω2)t/2] cos[((ω1 + ω2)t/2) + φ1]

В результате сложения двух колебаний мы получаем биение. Из математики известно, что систему однородных уравнений:

(a11 - ω2) x1 + a12x2 = 0

(a22 - ω2) x2 + a21x1 = 0

- заменой переменных x1 = ξ1, x2 = ξ2  можно привести к виду:

d2 ξ1/dt2 = ω01 ξ1

d2 ξ2/dt2 = ω02 ξ2

То есть система двух однородных уравнений распадается на два независимых. ξ1 и ξ2 – нормальные координаты системы. Такие координаты существуют всегда, но не каждый раз их легко определить. В нормальных координатах решение будет иметь вид

ξ1 = A01cos(ω01t + φ01)

ξ2 = A02cos(ω02t + φ02)

То есть каждая нормальная координата будет изменяться по гармоническому закону с одной своей собственной частотой, и никаких сложений не происходит. Таким образом, сложение гармонических колебаний будет происходить в системе с несколькими степенями свободы при условии, что эта система описывается ненормальными координатами.


На главный раздел сайта: Контрольная по физике