Примеры решения задач Конспекты Контрольная работа Задачник Справочник по физике

Физика. Примеры решения задач контрольной работы

Вертикальный столб длины l подпиливается у нижнего основания

и падает, поворачиваясь вокруг опирающегося на землю нижнего конца. Какова линейная скорость центра масс столба в момент падения на землю?

Решение

Ответ на вопрос задачи можно искать двумя способами. В первом используется закон сохранения механической энергии, во втором – теорема о кинетической энергии. Конечно, отличие этих подходов определяется лишь выбором системы тел, включаемых в рассматриваемую систему.

а) Пусть система состоит из столба и Земли, на поверхность которой столб опирается нижним концом. Тогда сила тяготения между этими телами – внутренняя сила системы, а сама система замкнута (внешние силы не действуют). Так как сила гравитационного взаимодействия консервативна, а сопротив-лением воздуха мы будем пренебрегать, то полная механическая энергия системы не изменяется во времени вплоть до момента падения столба на землю (неупругий удар). Запишем равенство исходной энергии системы и механической энергии столба в произвольный момент времени до падения:

. (1)

Здесь учтено, что столб – твёрдое тело, совершающее при падении чисто вращательное движение относительно оси, проходящей через точку его опоры перпендикулярно плоскости рисунка (ось Z). Принято (нормировка потенциальной энергии), что нулевое значение потенциальной энергии гравитационного взаимодействия система имеет, когда центр масс столба оказывается на поверхности земли (столб упал). Тело начинает двигаться вдоль прямой с постоянным ускорением. Через 30 мин ускорение тела меняется по направлению на противоположное, оставаясь таким же по величине. Через какое время от начала движения тело вернется в исходную точку? Ответ представьте в минутах и округлите до десятых.

Равенство (1) позволяет найти зависимость угловой скорости падающего столба от угла его отклонения от вертикального положения a :

. (2)

Если считать столб однородным тонким стержнем, то его момент инерции относительно выбранной оси равен  и равенство (2) запишется в виде:

. (3)

Линейная скорость центра масс стержня равна

. (4)

В момент падения скорость центра масс

.  (5)

Движение частицы в поле с потенциальным барьером. Туннельный эффект.

Рассмотрим одномерный случай. Пусть потенциальная энергия частицы имеет форму барьера.

Fx = - (∂u/∂x)

 Рассмотрим частицу, полная энергия которой Е < u0. Для определения волновой функции при заданной энергии Е = ħω достаточно рассматривать стационарное уравнение Шредингера, из которого находим φ(x).

ψ(x,t) = φ(x)e-iωt

ω = E/ħ

В одномерном случае

(ħ2/2m)(d2φ/dx2) + (E-u)φ = 0

Рассмотрим область x<0, u=0, тогда

(ħ2/2m)(d2φ/dx2) + Eφ = 0

Как известно, решение этого уравнения будет иметь вид:

φ(x) = Ae±ikx

(ħ2/2m)(-k2) Ae±ikx + E Ae±ikx = 0

k = (2mE/ ħ2) ½

Общее решение можно представить в виде:

φ(x) = Aeikx + Be-ikx

 

ψ(x,t) = φ(x)e-iωt = Ae±ikx + E Ae±ikx

Таким образом, в полученном решении у нас будет две волновые функции:

1) распространяющаяся вдоль оси х (падающая волна)

2) распространяющаяся в противоположном направлении (отраженная волна)

|A|2 определяет плотность вероятности обнаружить частицу, которая двигается к потенциальному барьеру.

|В|2 определяет плотность вероятности обнаружить отраженную частицу.

k = |B/A|2 - коэффициент отражения

Рассмотрим x > 0, u = u0 > E

(ħ2/2m)(d2φ/dx2) + (E - u0)φ = 0

Решение этого уравнения будет иметь вид:

φ(x) = сe±qx

q2(ħ2/2m) φ(x) + (E - u0) φ(x) = 0

q = (2m(u0 - E)/ ħ2) ½

Тогда решением будет:

φ(x) = сe-qx + Deqx

Заметим, что решение вида eqx не подходит, так как не удовлетворяет условию нормировки. Поэтому решение будет φ(x) = сe-qx

Таким образом, в области x > 0 существует отличная от нуля волновая функция и существует вероятность обнаружить частицу за потенциальным барьером. Для того, чтобы найти коэффициент отражения, напишем условие непрерывности волновой функции и ее производных в точке x = 0.

А + B = C

dφ/dx = ikAeikx - ikBe-ikx

dφ/dx = - qce-qx

ikA – ikB = -qc = -q(A + B)

A = [(ik-q)/(ik+q)]B

k = |B/A|2 = |(ik-q)/(ik+q)| 2 = 1

Из этого следует, что в области x < 0 вероятности обнаружить частицу, движущуюся к барьеру, и отраженную частицу одинаковы. Так как решение было найдено при Е = const, то неопределенность времени ∆t → 0.

Рассмотрим движение частицы с потенциальным барьером вида

 

Предположим, что частица находилась сначала в области x < 0. Ее энергия Е < u0. Тогда решение стационарного уравнения Шредингера будет иметь вид в областях:

1) x < 0

φ(x) = Aeikx + Be-ikx

2) 0<x<a

φ(x) = сe-qx ; q = (2m(u0 - E)/ ħ2)1/2

3) x > a

φ(x) = Deikx (отраженной частицы нет)

Таким образом, существует вероятность, что частица может пройти потенциальный барьер из области x < 0 в область x > a. Эта вероятность характеризуется коэффициентом пропускания, который равен квадрату модуля отношения волновых функций ψ(а) и ψ(0).

T = |ψ(а)/ψ(0)|2 = |φ(а)/φ(0)| 2 , так как ψ(x,t) = φ(x)e –iωt

 T = |сe –qa/ce –q0|2 = e –2qa

Таким образом, если потенциальный барьер бесконечно широкий (а → ∞), то Т равно нулю. Если u0 → ∞ (высота потенциального барьера), Т также равно нулю.


На главный раздел сайта: Контрольная по физике