Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Дифференцирование при решении физических задач

Необходимость дифференцирования, т. е. вычисления производных от той или иной функции при решении физической задачи может возникнуть в различных случаях. Во-первых, некоторые физические величины уже по определению имеют дифференциальный характер, т. е. являются производными по тому или иному параметру: скорость, ускорение, мощность, сила тока, ЭДС электромагнитной индукции и др. б) Во-вторых, в задачах на поиск экстремумов, в которых требуется найти наименьшее или наибольшее значения какой-то физической величины. Необходимым условием экстремума является равенство нулю первой производной от этой функции.

Необходимые математические сведения

Производной функции  называется такая новая функция, которая при каждом значении независимой переменной  равна пределу отношения приращения  функции к приращению независимой переменной  при произвольном стремлении к нулю.  или .

Предел функции.

Говорят, что функция  при  (A и a - числа), или

,

если для любого  существует  такое, что

  при . Аналогично ,

если   при . Употребляется также условная запись

, которая обозначает, что  при , где E – произвольное положительное число.

Односторонние пределы.

Если  и , то условно пишут ; аналогично, если  и , то это записывается так: . Числа  и  называют соответственно пределом слева функции  в точке a и пределом справа функции  в точке a (если эти числа существуют).

  Для существования предела  при  необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

.

  Если существуют  и , то имеют место следующие теоремы:

1) ;

2) ;

3)   .

Частое применение находят следующие пределы:

;

Геометрический смысл производной

Значение производной  при заданном значении  равно тангенсу угла, отсчитываемого от положительного направления оси против часовой стрелки до касательной к графику функции  в точке с абсциссой , то есть угловому коэффициенту этой касательной.

Уравнение касательной к графику функции  в точке :

Механический смысл производной

Мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения есть производная от функции, выражающей зависимость пройденного пути  от времени .

Правила дифференцирования:

( - функции аргумента , по которому проводится дифференцирование)

Производная алгебраической суммы: .

Производная произведения: . В частности .

Производная частного (дроби) . В частности .

Производная сложной функции: Если , то .

Основные формулы дифференцирования:

.

;  частные случаи: .

.  Частный случай: .

;  частный случай: .

. .

.

Производные от гиперболических функций:

. .

.

На главный раздел сайта: Задачи по физике