Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

«Лестница»

Человек поднимается по легкой лестнице длиной 2 м, образующей угол 300 с вертикальной стеной. Коэффициенты трения стены и пола равны соответственно 0,2 и 0,4. На какую максимальную высоту сможет подняться человек?

Дано: L = 2 м; α = 300; μА = 0,2; μВ = 0,4;

Найти: h.

Решение: (см. рис. 3.9)

В точках A и B на лестницу действуют нормальные силы реакции, направленные перпендикулярно соответствующей поверхности, и силы трения, максимальное значение которых определяется коэффициентами трения. Результирующие силы реакции опор образуют с нормалями углы . Линии действия этих сил пересекаются в точке E.

Из условия равновесия следует, что суммарный момент всех сил, действующих на лестницу, быть равен нулю, причем моменты можно брать относительно любой точки. Если выбрать точку Е, то момент равнодействующей силы тяжести лестницы и человека должен быть равен нулю, так как реакции не создают момента относительно этой точки. Тогда точка D приложения результирующей силы находится на пересечении лестницы с вертикалью, опущенной из точки Е.. Координату x точки D находим из условия пересечения прямых АЕ и ВЕ, уравнения которых имеют вид:

  

Предельные углы трения β и γ связаны с коэффициентами трения μА и μВ соотношениями: μА = tg β и μВ = tg γ; тогда приравнивая , получаем выражение для координаты точки пересечения xD  = xЕ:

   

В зависимости от значения параметров – угла наклона лестницы α, коэффициентов трения μА и μВ – значение xЕ может изменяться в широких пределах, в том числе, принимать положительные и отрицательные значения. Если координата xD, (0 ≤ xD ≤ ), характеризующая положение человека на лестнице, отвечает условию xЕ ≤ xD, то можно не опасаться падения.

Максимальная высота h, на которую сможет подняться человек, определяется соотношением:

   

Подставляя числовые значения, находим:

 

Ответ: h = 1,24 м.

«Столкновение шаров»

Шар 1 попадает в точно такой же неподвижный шар 2 (см. рис.1.1). После абсолютно упругого удара шар 1 оказывается в точке, положение которой определяется значениями a = 26 см и s = 45 см. На сколько переместится шар 2 к этому же моменту времени?

Дано: a = 26 см; s = 45 см.

Найти: s2

Решение: (см. рис. 3.10)

При абсолютно упругом не центральном ударе выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии шаров. Угол отклонения налетающего шара определяется прицельным расстоянием b. По закону сохранения импульса получаем:

   

Последнее соотношение дает треугольник импульсов с острым углом α при вершине. Направление вектора импульса второго шара после удара определяется прицельным расстоянием b; очевидно, такой же импульс, но противоположного направления, получает шар 1. Рассматривая геометрический треугольник, определяемый положениями шара 1, находим угол α из соотношения:

  

Из закона сохранения кинетической энергии шаров получаем:

  

Из треугольника импульсов по теореме косинусов можно выразить квадрат импульса второго шара:

  

Из уравнений и получаем , откуда следует: . Т.е. треугольник импульсов в этом случае (одинаковая масса шаров) оказывается прямоугольным. Искомое перемещение второго шара может быть найдено из соотношения начальных импульсов шаров в первое мгновенье после удара; считая, что перемещения каждого шара пропорционально его импульсу, получаем:

  

В свою очередь, из геометрического треугольника имеем:

  

Тогда   = 30 см.

Ответ: s2 = 30 см.

«Кулон»

В вершинах треугольника со сторонами a = 8 см, b = 5 см, c = 11 см (см. рис. 1.1) расположены электрические заряды q1 = 15 нКл; q2 = 2 нКл и q3 = 10 нКл. Найдите силу, действующую на третий заряд.

Дано: a = 8 см, b = 5 см, c = 11 см; q1 = 2 нКл; q2 = 15 нКл и q3 = 10 нКл.

Найти: F3

Решение: (см. рис. 3.11)

По закону Кулона ; здесь ; направление вектора силы совпадает с прямой, соединяющей заряды.

Из принципа суперпозиции следует, что в случае нескольких зарядов результирующая сила находится как векторная сумма каждой пары зарядов: . Геометрическое сложение векторов дает треугольник сил, из которого модуль силы находим из теоремы косинусов:

  

Используя формулы приведения для тригонометрических функций, находим: . В свою очередь,  находим из геометрического треугольника:

 

Подставляя выражения для силы Кулона, вынося из-под корня , из выражения получаем:
 

Подставляя числовые значения, находим:

Из выражения :

Из выражения :

Ответ:

 «Сложение колебаний»

Найти результат сложения n = 5 электромагнитных когерентных колебаний равной амплитуды Е1 = 10 В/м, если каждое из последующих отличается по фазе на π/6 рад от предыдущего.

Дано: n = 5; Е0 = 10 В/м.

Найти: Е5; β.

Решение: (см. рис. 3.12)

Основной приём, который можно использовать для определения амплитуды результирующего колебания (при сложении n = 5 колебаний с одинаковой частотой) – это метод векторных диаграмм. Суть его в том, что колебания равной частоты, отличающиеся начальной фазой, можно представить векторами. Тогда амплитуда колебания представляется модулем вектора, а его начальная фаза – углом наклона вектора к оси абсцисс. Сложение синусоид заменяется сложением соответствующих векторов, что оказывается значительно проще.

Сложение векторов сводится к тому, что каждый последующий вектор откладывается от конца предыдущего (см. рисунок). В данном случае, амплитуды колебаний (и модули векторов) одинаковы; каждый следующий вектор поворачивается на одинаковый угол α = π/6 рад. Вектор, представляющий суммарное колебание, соединяет начало первого и конец последнего из векторов суммы. Тогда его модуль даёт амплитуду результирующего колебания, а угол наклона – начальную фазу. Задача, таким образом, сводится к чисто геометрической.

Результат геометрического построения – шестиугольник, вписанный в окружность некоторого радиуса R; очевидно, R = ОА = ОВ = ОС. Угол при вершине треугольника АОВ равен α; тогда в треугольнике АОС угол при вершине:  ; т. е. . Находим (по теореме косинусов)

  

Используя известное тригонометрическое соотношение , получаем:  . Аналогичным образом из треугольника АОВ находим: амплитуда каждого из складываемых колебаний может быть представлена в виде:  . Из выражений , и находим:  . Фаза результирующего колебания  

Подставляя числовые значения, получаем:  = 37,32 В/м; β = 2 α = π/3 рад.

Ответ: Е5 = 37,32 В/м; β = π/3 рад.

На главный раздел сайта: Задачи по физике