Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

«Переправа»

Скорость катера, отчалившего от берега реки в точке А, равна 4 м/с относительно воды; вектор скорости составляет угол 750 с направлением течения реки (см. рис. ). На сколько метров снесет катер за счет течения, когда он достигнет противоположного берега, если ширина реки 400,  м, а скорость течения 0,5 м/с?

Дано: β = 750; vК = 2,5 м/с; vР = 0,747 м/с; L = AD = 400 м.

Найти: S = BC.

Решение: (см. рис. 3.4)

Используя теорему сложения скоростей, получаем:0

 

Вектор скорости реки направлен вдоль берега; вектор скорости катера составляет с ним угол β = 750. Получаем треугольник скоростей, соответствующий выражению . Проекции векторов на вертикальную ось можно выразить следующим образом:

  

Из последнего соотношения выражаем

  =  

Тогда α = 600.

Из треугольника АDС находим DС = АD сtgα; из треугольника АDВ находим DВ = АD сtg β; тогда искомое расстояние S = BC = L (сtg α- сtg β). Подставляя числовые значения, получаем: 
S = 400×(сtg 600 – сtg 750) = 124 м.

Ответ: S = 124 м.

«Перекресток»

К перекрестку двух дорог, пересекающихся под углом 600, приближаются два автомобиля со скоростями 36 км/ч и 54 км/ч. В начальный момент времени автомобили находились от перекрестка на расстояниях 250 м и 180 м соответственно. Каким будет минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения?

Дано:  = 36 км/ч = 10 м/с;  = 54 км/ч = 15 м/с;  = 120 м;  = 150 м.

Найти:

Решение: (см. рис. 3.5)

Перейдем в систему отсчета, связанную с одним из автомобилей, например, вторым. Тогда скорость первого автомобиля в этой системе отсчета на основании теоремы сложения скоростей выражается формулой:

  

Графическое сложение векторов (см. рис 1.2) дает вектор , направление которого определяет траекторию движения автомобиля в этой системе отсчета. Теперь решение задачи становится совершенно очевидным: расстояние между вторым (теперь неподвижным) автомобилем, обозначенным на рисунке цифрой 2, и траекторией движения первого автомобиля (прямая линия) определяется по перпендикуляру. Таким образом, задача по физике сводится к задаче по геометрии: необходимо найти отрезок 14 по известным значениям отрезков 13 ( = 150 м); 23 ( = 120 м); углу  = 600. Решая эту задачу, находим:

Из треугольника D123 по теореме косинусов:  

Из треугольника скоростей по теореме косинусов:  

Из треугольника скоростей по теореме синусов: ; отсюда находим угол :

Из треугольника D123 по теореме синусов:; отсюда находим угол :

Искомое расстояние  находим из прямоугольного треугольника D124:

Ответ:  = 127,7 м

«Кривошип»

Кривошип ОА длиной r = 10 см вращается с угловой скоростью 2 с-1. Найти скорость точки В в момент времени, когда угол поворота кривошипа a = 300, если АВ = 2 ОА.

Дано: ω = 2 с-1; ОА = r = 10 см, АВ = 2 r; a = 300.

Найти: vВ.

Решение: (см. рис. 3.6)

При вращении кривошипа ОА длиной r вокруг точки О с угловой скоростью ω линейная скорость точки А выражается формулой:  .

При этом вектор линейной скорости перпендикулярен кривошипу ОА.

Точка В принадлежит одновременно и шатуну АВ, и ползуну В, который может двигаться только горизонтально. В данном случае, он будет двигаться влево, что определяется направлением вращения кривошипа ОА. Движение шатуна (твердого тела) как это известно из теоретической механики, можно представить как вращение вокруг некоторой точки, называемой мгновенным центром скоростей (МЦС). Положение этой точки определяется как пересечение прямых, перпендикулярных векторам скоростей точек А и В. Очевидно, в данном случае получаем точку С, где   и . В итоге получаем прямоугольный (по построению) треугольник ОВС с острым углом a = 300. Чтобы определить катет ВС этого треугольника, рассмотрим треугольник ОАD, из которого находим  . Рассмотрим далее треугольник ОАВ; используя теорему синусов, получаем:

  = 0,25. 

Здесь учтено, что синус угла a = 300 равен 0,5. По значению синуса угла β находим его косинус, использую основное тригонометрическое тождество:  = 0,96825. Т. к. АВ = 2 r, получаем:

   = r (0,866 + 2×0,96825) = 2,8025 r 

Находим теперь  = 2,8025 r×0,577 = 1,6180 r  и  = 3,2361 r . Из последнего соотношения находим  = 3,2361 r – r = 2,2361 r .

Линейную скорость точки А можно выразить через угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра скоростей: ; отсюда находим ; тогда скорость точки В может быть найдена как

 = 0,145 м/с

Ответ: vВ = 0,145 м/с.

«Уголок»

Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В направлен вдоль стороны СВ. При этом угол α = 500, а модуль скорости vА = 10 см/с. Определите модуль скорости точки С.

Дано: α = 500; vА = 10 см/с.

Найти : vС.

Решение: (см. рис. 3.7)

Плоское движение жесткого тела удобно описывать, используя понятие мгновенного центра скоростей (МЦС). Эта точка может быть найдена как пересечение прямых, перпендикулярных векторам скорости точек твердого тела. Для этого необходимо знать направления векторов скорости хотя бы двух точек тела. В данном случае известны направления скорости точек А и В. Соответствующим построением находим положение точки Р – МЦС треугольника АВС. Получаем треугольник АВР – прямоугольный по построению; угол при вершине В – дополнительный до 900 к углу α = 500.

Обозначая сторону треугольника АВ как 2а, находим из треугольника АВР катет РА:  ; высота треугольника АВС  ; тогда   . Учитывая, что СD = а, из треугольника СDР по теореме Пифагора находим гипотенузу РС:  .

Скорости точек А и С выражаются через мгновенную угловую скорость вращения фигуры относительно точки Р:  . Отсюда находим выражение для скорости точки С:

   

Подставляя числовые значения, получаем:

 = 18,1 см/с.

Ответ: vС = 18,1 см/с.

«Кронштейн»

К стене с помощью шарниров A, B прикреплен кронштейн, на вершину С которого действует сила  под углом g к горизонту. Стержни АС и ВС образуют с вертикальной стеной углы a и b соответственно. Найти усилия в стержнях.

Дано: a = 600; b = 450; g = 150; F = 20 Н

Найти: N1; N2

Решение: (см. рис. 3.8)

Узел С кронштейна находится в равновесии под действием силы F, реакций стержней N1, N2; условие равновесия заключается в равенстве нулю равнодействующей, или векторной суммы всех сил: . Геометрически, сложение трех векторов дает треугольник, причем стороны треугольника образованы этими векторами. Направление вектора   задано, реакции стержней  направлены вдоль самих стержней, причем стержень ВС сжат, и вектор реакции направлен от В к С; стержень АС растянут, вектор реакции направлен от С к А.

В образованном треугольнике сил известна одна сторона (F = 20 Н), а также углы треугольника – они могут быть выражены через заданные углы a = 600, b = 450, g = 150. Действительно,

  

Оставшиеся две стороны треугольника, т. е. искомые усилия в стержнях, могут быть найдены по теореме синусов:

  

Подставляя числовые значения, получаем:

 

Ответ: N1 = 67 Н; N2 = 55 Н

На главный раздел сайта: Задачи по физике