Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Необходимые математические сведения

Чаще всего при решении физической задачи возникает необходимость построения треугольников и дальнейшего определения их параметров – углов и сторон. В связи с этим, будет полезным вспомнить следующие основные формулы.

Для треугольника с произвольным соотношением сторон

Для треугольника АВС, углы которого обозначены буквами α, β и γ (см. рис. 3.1), справедливы соотношения и теоремы:

Сумма углов (или π радиан).

Теорема синусов: 

Теорема косинусов: 

Для прямоугольного треугольника

Пусть в треугольнике АВС угол при вершине С – прямой (см. рис. 3.2), т. е. равен 900 или  рад.
Тогда справедливы следующие обозначения, соотношения и теоремы:

Стороны треугольника: АВ = с – гипотенуза; АС =  b и ВС = а – катеты.

Теорема Пифагора:
, или .

Соотношения сторон треугольника, выраженные через тригонометрические функции:

 .

Для равнобедренного треугольника

Две из трех сторон треугольника равны между собой.

Углы, примыкающие к равным сторонам, также равны между собой.

Медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины, в которой сходятся равные стороны, совпадают между собой.

Основные тригонометрические соотношения

Формулы двойного аргумента:

 

 

  

Основные тригонометрические тождества

    

  

  

  

  

Формулы суммы и разности синусов (косинусов):

   

  

Таблица значений тригонометрических функций для часто встречающихся аргументов

sin α

cos α

tg α

ctg α

0

0

0

1,000

0

150

π/12

0,2588

0,9659

0,2679

3,7321

300

π/6

0,5000

0,8660

0,5774

1,7321

450

π/4

0,7071

0,7071

1,0000

1,0000

600

π/3

0,8660

0,5000

1,7321

0,5774

750

5π/12

0,9659

0,2588

3,7321

0,2679

900

π/2

1,0000

0

0

Формулы приведения:

   

        

  

  

   

   

Используя формулы приведения и данные таблицы значений тригонометрических функций в пределах 1-й четверти, можно найти значения тригонометрических функций в более широком интервале изменения аргумента. Например,

;

;

;

  и т. д.

Примеры решения задач

«Перехват»

В точке В находится человек, и ему надо успеть на автобус А, который движется по дороге со скоростью 54 км/ч. Их взаимное расположении задано размерами треугольника АВС, S = 400 м и α = 150. В каком направлении следует бежать человеку со скоростью 5,49 м/с, чтобы успеть на автобус? Какой должна быть наименьшая скорость человека, чтобы встретиться с автобусом при указанных условиях? (считается, что при появлении человека на дороге автобус сразу же останавливается).

Дано: vА = 54 км/ч=15 м/с; S = 400 м; vВ = 5,49 м/с; α = 150.

Найти: Направление, т. е. угол β.

Решение: (см. рис. 3.3)

Чтобы направление движения человека стало очевидным, надо представить, что автобус неподвижен. Тогда человеку надо двигаться по прямой от точки В до точки А. «Остановить» автобус можно, рассматривая движение тел в системе отсчета, связанной с автобусом. Тогда по теореме сложения скоростей скорость человека относительно автобуса равна:

  

Какой бы ни была (по модулю) относительная скорость человека, вектор  непременно должен быть направлен в точку А. Вычитание вектора  дает параллельный перенос прямой АВ вправо (штрих - пунктирная линия на рисунке). Если перебрать все возможные направления движения человека, т. е. вектора , то получим дугу окружности (радиусом vВ). Тогда геометрическое решение получается как точки пересечения этой дуги со смещенной прямой АВ. Две точки пересечения соответствую случаям, когда человек бежит навстречу автобусу, или вдогонку ему. Выбирая первый вариант как более рациональный, получаем треугольник скоростей, соответствующий выражению .

Далее наступает «геометрическая» часть решения задачи. По теореме синусов для треугольника скоростей, в котором угол α = 150; а угол при вершине В легко выражается через искомый угол β: , получаем:

 

Отсюда  = 0,7071; α + β = 450  и β = 450 – 150 = 300.

Наименьшее значение скорости человека vВ min, при которой задача ещё имеет решение, геометрически соответствует касанию дуги окружности смещённой прямой АВ. При этом треугольник скоростей получается прямоугольным; катет  = 3,88 м/с.

Ответ: β = 300; vВ min = 3,88 м/с.

Подобный приём – переход в подвижную систему координат, связанную с одним из тел рассматриваемой кинематической системы – может быть использован при решении целого класса кинематических задач. Рассмотрим следующий пример.

На главный раздел сайта: Задачи по физике