Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

«Смесь газов»

В баллоне емкостью 25 л под давлением 3,26 МПа и температуре 280К находится смесь гелия, водорода и углекислого газа. Масса всей смеси 100 г. Чтобы нагреть смесь до 590 К, ей пришлось сообщить 2,0 МДж теплоты. Какова масса каждого газа, входящего в смесь?

Дано: p = 0,3 МПа; V = 2,5 л; m = 1 кг; t = 2700С; Q = 800,7 кДж; ΔТ = 720 К.

Справочные данные: молярные массы указанных в условии газов имеют следующие значения: гелий: μ1 = 0,004 кг/моль; водород: μ2 = 0,002 кг/моль; углекислый газ: μ1 = 0,044 кг/моль.

Найти: m1; m2; m3.

Решение:

Неизвестными величинами являются массы компонентов газовой смеси; обычно их выражают через массовые доли (αк = mк/ m, к = 1, 2, 3). Для определения трёх неизвестных величин требуются три уравнения, которые предстоит составить на основе физических условий задачи.

По закону Дальтона, давление газовой смеси p выражается через парциальные давления отдельных газов соотношением: p = p1 + p2 + p3. Считая газы идеальными, запишем уравнения состояния для к-той компоненты в виде:

.  Здесь R = 8,314 Дж/моль К – универсальная (мольная) газовая постоянная; остальные величины определены выше. Тогда выражение для закона Дальтона принимает вид:  .

Второе важное условие задачи – это указанное значение подводимой теплоты Q для нагревания на ΔТ градусов. Молярная теплоёмкость идеального газа определяется числом степеней свободы i теплового движения его молекул; при изохорном нагревании (V = const), ; при этом, для одноатомного гелия (Не) i1 = 3; для двухатомного водорода (Н2) i2 = 5; для трехатомного углекислого газа (СО2) i3 = 6. Тогда общее количество подводимой к смеси теплоты выражается формулой: . Отсюда легко получаем второе уравнение относительно искомых параметров:  .

Последнее уравнение вполне очевидно – сумма всех массовых долей смеси должна быть равна единице; т. е.  .

Дальнейшее решение рациональнее проводить не в общем буквенном, а в числовом виде, т. е. использовать числовые значения коэффициентов уравнений и свободных членов. Находим с11 = 1/μ1 = 250; с12 = 1/μ2 = 500; с3 = 1/μ3 = 250/11 (единицы измерения – моль/кг). Соответствующий свободный член:  = 350,098 моль/кг.

Для уравнения аналогичным образом получаем: с21 = 3/μ1 = 750 моль/кг; с22 = 5/μ2 = 2500 моль/кг; с23 = 6/μ3 = 1500/11 моль/кг;  = 1551,99 моль/кг.

Чтобы коэффициенты уравнений были одного порядка, разделим первое уравнение на 100, второе – на 1000. Получаем систему трех линейных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных:

 

Будем решать эту систему уравнений с помощью формул Крамера:   . Здесь Δ и Δк – определители, составленные из коэффициентов системы уравнений и свободных членов:

  = 2,44317;

 = 0,98145;

  = 1,20846;

 = 0,25326.

Решение системы уравнений:  = 0,4017;  = 0,4946;  = 0,1037. Тогда масса каждого из газов, входящих в состав смеси будет: m1 = 0,4017×100 = 40,17 г; m2 = 0,4946×100 = 49,46 г; m3 = 0,1037×100 = 10,37 г.

Ответ: m1 = 40,17 г;  m2 = 49,46 г; m3 = 10,37 г.

«Схема»

Электрическая цепь содержит два источника тока с ЭДС Е1 = 12 В и Е2 = 24 В; три резистора с сопротивлениями R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 30 Ом (см. Рис. 1.3) Найти силу токов в ветвях цепи.

Дано: Е1 = 12 В; Е2 = 24 В; R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 30 Ом.

Найти: I1; I2; I3.

Решение: (см. рис. 2.3).

Укажем (произвольно) положительные направления токов в ветвях и положительные направления обхода контуров (см. рис). По первому правилу Кирхгофа для узла "а" получаем первое уравнение для токов:

   

По второму правилу Кирхгофа для контура 1 получаем второе уравнение:

  

По второму правилу Кирхгофа для контура 2 получаем третье уравнение:

  

Подставляя числовые значения величин ЭДС и сопротивлений, получаем систему уравнений относительно I1; I2; I3. предполагая её решение методом Гаусса, в дальнейшем будем записывать только коэффициенты уравнений и свободные члены, опуская сами неизвестные величины. Тогда исходная система уравнений принимает вид:

1 1 1 0

10 0 30 12

0 20 30 24

Разделим вторую строку на -30, третью – на 30, чтобы в предпоследнем столбце появились значения -1 и 1; получаем:

1 1 1 0 (а)

-1/3 0 -1 -0,4 (б)

0 2/3 1  0,8 (в)

Складываем строки: (а)+(б) и (б)+(в); тогда получаем две строки:

2/3  1 0 -0,4 (г)

-1/3 2/3 0 0,4 (д).

Строку (д) делим на -2/3, чтобы во второй колонке получилась -1:

2/3 1 0 -0,4 (е);

1/2 -1 0 -0,6  (ж).

Складываем строки (е)+(ж):

7/6 0 0 -1; делим на 7/6:

1  0 0 -6/7.

Получаем, что первое неизвестное, т. е., сила тока в первой ветви, равна I1 = -6/7 ≈ -0,857 А. Из строки (е) получаем значение I2 = -0,4-(2/3)×(-6/7) = = 6/35, или I2 ≈ 0,171 А. Из строки (а) получаем: I3 = -I1-I2 = 6/7-6/35 = 24/35 ≈ ≈ 0,686 А.

Ответ: I1 = -6/7 ≈ -0,857 А;  I2 = 6/35 ≈ 0,171 А; I3 = 24/35 ≈ 0,686 А. Направление тока в 1-й ветви противоположно указанному на схеме цепи.

На главный раздел сайта: Задачи по физике