Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Системы алгебраических уравнений

Общий принцип решения физических задач сводится к следующему. Из условия задачи выясняем, что в данном случае происходит, т. е. каков смысл рассматриваемых физических явлений или процессов. Записываем математические соотношения, связывающие между собой встречающиеся величины, на основе соответствующих физических законов, теорем или определений. Часть из этих величин задана в условии, или может быть определена из справочных таблиц (при этом убеждаемся, что все единицы измерения, в которых даны числовые значения, согласованы, или соответствуют системе СИ). Остальные величины считаются неизвестными. Получаем таким образом одно, два или больше уравнений. Причем уравнения могут быть самыми разными – от линейных алгебраических, до дифференциально - интегральных уравнений в частных производных. В данном случае ограничиваемся рассмотрением наиболее простых задач, сводимых к линейным алгебраическим уравнениям.

Если число независимых (т. е. не сводимых друг к другу) уравнений равно числу неизвестных величин, то «физическая часть» задачи заканчивается, и можно переходить к её «математической части». Система уравнений приводится к каноническому (стандартному) виду; выбирается тот или иной метод решения уравнений в зависимости от числа уравнений и их вида.

Необходимые математические сведения

Система линейных алгебраических уравнений в общем случае определяется значениями коэффициентов уравнений {аi,j} и свободными членами {bi}, где i = 1, 2…n – порядковый номер уравнения; j = 1, 2…n – порядковый номер неизвестного параметра. В развернутом виде система уравнений может быть представлена следующим образом:

а11х1+ а12х2+…+ а1nхn = b1; (1)

а21х1+ а22х2+…+ а2nхn = b2;  (2)

………………………………………

аn1х1+ аn2х1+…+ аnnхn = bn; (n).

Возможные методы решения системы линейных алгебраических уравнений, сформулированных в процессе решения физической задачи, сводятся к следующему.

Метод подстановки

Из первого уравнения выражаем одно из неизвестных, например, ; подставляем это выражение в оставшиеся уравнения; тогда вместо системы из n уравнений относительно n неизвестных после соответствующих алгебраических преобразований получается система из n-1 уравнений относительно n-1 неизвестных. Затем из одного из этих уравнений выражаем следующее неизвестное, подставляем в оставшиеся уравнения, и так до тех пор, пока не останется только одно уравнение относительно одного неизвестного в виде ахк = b. Находим отсюда хк = а/b; а затем последовательно все остальные неизвестные. Такой метод оказывается удобным в том случае, когда решаемая физическая задача содержит много переменных, но связывающие их уравнения достаточно простые, т. е. многие из коэффициентов уравнений равны нулю.

Метод Гаусса

Метод Гаусса сводится к преобразованию коэффициентов уравнений и свободных членов с помощью умножения (деления) на определенное число так, чтобы коэффициенты при одинаковых неизвестных в соседних уравнениях отличались только знаком. Тогда при их сложении, соответствующие неизвестные взаимо уничтожаются, уменьшая тем самым число оставшихся неизвестных. Продолжая подобную операцию, приходим к одному уравнению с одним неизвестным, решение которого уже очевидно. Затем в обратной последовательности определяем все остальные неизвестные. Форма записи проводимых операций может быть различна, но целесообразнее всего записывать только сами коэффициенты уравнений (и свободные члены) на каждом этапе решения. Конкретный пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса приведен ниже (Пример 4).

Метод Крамера

Метод Крамера предполагает вычисление определителей, составленных из коэффициентов уравнений Δ, и определителей Δк, к = 1, 2, …, n, полученных заменой к-того столбца определителя Δ на столбец свободных членов. Тогда искомые неизвестные выражаются формулой . Практически, при вычислениях определителей вручную (а не с помощью компьютера) этот метод имеет смысл использовать для решения систем из трех уравнений; при большем числе уравнений рациональнее использовать метод Гаусса. Пример использования метода Крамера при решении системы уравнений приведен ниже (Пример 3).

Примеры решения задач

«Блоки»

Механическая система включает в себя подвижный (1) и неподвижный (2) блоки массами m1 = 0,2 кг, m2 = 0,8 кг и груз массой m3 = 0,4 кг (см. Рис. 1.1). Масса блока 1 распределена по его ободу; блок 2 представляет собой однородный диск. Определите ускорение груза 3 а3 и силы натяжения шнура Т1

Дано: m1 = 0,2 кг, m2 = 0,8 кг; m3 = 0,4 кг;

Найти: а3; F01; F12; F23.

Решение: (см. рис. 2.1).

Из трех тел, входящих в состав механической системы, груз 3 движется поступательно; неподвижный блок 2 только вращается; подвижный блок 1 движется плоско параллельно, т. е. его ось движется поступательно, а блок вращается вокруг этой оси. Составляем уравнения движения для каждого из тел, предварительно указав на рисунке векторы действующих на тела сил. При этом соединяющие тела нити предполагаются невесомыми и нерастяжимыми, а оба блока вращаются без трения.

Тогда для груза 3:  ;

для неподвижного блока 2:  ;

для поступательного движения центра масс подвижного блока 1:  ;

для вращения блока 1 вокруг своей оси:  .

Здесь R1, R2 – радиусы блоков.

Следующая группа уравнений описывает кинематическую связь между телами системы. В отсутствии скольжения нити по ободам блоков, ускорение груза 3 равно тангенциальному ускорению точек на ободе блока 2, т. е.  .

Ускорение оси блока 1 ровно в два раза меньше ускорения груза 3, т. е.   . Это следует из анализа движения блока 1: он «катится» вверх по нити 01, и точка касания является мгновенным центром скоростей. При этом для блока 1 также   .

Итого получаем 7 уравнений для определения семи неизвестных величин: a1, a3, ε1; ε2; F01; F12; F23.

Поскольку каждое из уравнений достаточно простое, т.е. включает в себя 2-3 неизвестных величины, решать его удобнее методом подстановки, последовательно сокращающей число ставшихся неизвестных. Сначала из уравнений и выражаем угловые ускорения блоков 1 и 2; учитываем при этом соотношение . После подстановки этих выражений в оставшиеся уравнения получаем:

   ;

  ;

  ;

  .

Дальнейшее решение системы из 4-х уравнений удобнее провести методом Гаусса; для этого перепишем систему уравнений, приводя её к каноническому (стандартному) виду:

  ;

  ;

  ;

  .

Сложение уравнений и с учетом разных знаков перед F23 даёт:

  ;

Уравнение умножаем на 4, после чего складываем с оставшимися уравнениями и ; при этом уничтожаются неизвестные F01 и F12:

 

  

Учитывая условие задачи, преобразуем коэффициент при а3 в последнем уравнении. Если масса блока 1 распределена по ободу, а блок 2 представляет собой однородный диск, то их моменты инерции относительно осей вращения выражаются формулами:   и . Радиусы блоков R1 и R2 сокращаются; тогда из уравнения получаем выражение для ускорения груза 3 в виде:

  .

Подставляя числовые значения масс тел, получаем: а3 = 0,33g ≈ 3,27 м/с2.

Силы упругости нитей, связывающих блоки, находим из сформулированных выше уравнений. Из уравнения , используя выражение для ускорения , получаем:  ≈ 0,667×0,4×9,81 ≈ 2,616 Н.

Из уравнения получаем:  ≈ 1,308 Н.

Из уравнения находим последнюю неизвестную величину – силу F01:   ≈ 0,654 Н.

Ответ: а3 = 3,27 м/с2; F01 = 0,654 Н; F12 = 1,308 Н; F23 = 2,616 Н

«Плита»

Плита АВ весом Р = 10 кН, закрепленная шарнирно в точке А (см. Рис. 1.2), образует угол α = 400 с плоскостью горизонта. В этом положении плиту удерживает стержень ВС, который соединен с плитой шарнирно и образует с плоскостью горизонта угол β = 650. Помимо собственного веса, на плиту действует сила F = 4 кН, направление которой образует угол γ = 600 с плоскостью плиты. Указанные на рисунке размеры имеют следующие значения: a = 3 м; b = 1,6 м; c = 1,4 м. Требуется найти реакции шарнира RАХ, RАУ и усилие в стержне N.

Дано: Р = 10 кН; α = 400; β = 650; F = 4 кН; γ = 600.

Найти: RАХ, RАУ; N.

Решение: (см. рис. 2.2).

Для определения трех неизвестных величин требуется составить три уравнения; эти уравнения выражают условия равновесия твердого тела, имеющего ось вращения. Отсутствие вращения плиты удобнее выразить как отсутствие поворота вокруг оси "А" условием: сумма моментов всех сил относительно этой оси равна 0; или   = 0. Сюда входят: момент силы тяжести плиты, Р, плечо которой hР = а×cos α; момент силы F, который удобнее выразить через составляющую силы, перпендикулярную поверхности плиты: Fn = F sin γ; момент силы упругости (реакции N) стержня, нормальная составляющая которой Nn = N×sin(1800 – α –β) = N×sin(α+β). Тогда в уравнение равновесия входит лишь одна неизвестная величина – реакция стержня N, что упрощает дальнейшее решение системы уравнений. С учетом направлений сил и правилом знаков для моментов, получаем:

  

Оставшиеся два уравнения выражают отсутствие перемещения плиты вдоль оси ОХ и ОУ; это равенство нулю суммы проекций действующих сил на соответствующие оси:

 

 

Метод решения полученной системы уравнений выбираем с учетом того, что в первом уравнении содержится лишь одно неизвестное; тогда из находим реакцию стержня:

 = -1,216 Н 

Отрицательное значение реакции N = -1,216 Н показывает, что при данных нагрузках стержень оказывается сжатым, а не растянутым, как предполагалось при составлении уравнения. Находим теперь реакции шарнира: из уравнения  = = 4,273 Н. Соответственно, из уравнения получаем:  = 7,530 Н.

Ответ: RАХ = 4,273 Н; RАУ = 7,530 Н; N = -1,216 Н.

На главный раздел сайта: Задачи по физике