Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

«Конденсаторы»

Батарея содержит цепочку конденсаторов, емкость которых изменяется по определенному закону, а именно: 1,25 мкФ, 1 мкФ, 0,8 мкФ и т. д. Первый конденсатор заряжается от источника до напряжения 120 В; затем с помощью переключателей первый конденсатор соединяется со вторым, второй – с третьим, и т. д. Требуется найти заряд и энергию, полученные 10-м по счету конденсатором.

К задаче из примера 1.4

Дано: С1 = 1,25 мкФ, С2 = 1 мкФ, С3 = 0,8 мкФ;U1 = 120 В

Найти: q10, W10

Решение: (См. рис 1.1)

Первый конденсатор заряжается от источника до напряжения U1; при этом заряд, который получает конденсатор, определяется формулой:

  

Энергия заряженного конденсатора может быть выражена:

   

Первый конденсатор отсоединяют от источника и подсоединяют к следующему конденсатору; его емкость может быть выражена через емкость первого конденсатора:

  

Указанные в условии данные позволяют легко установить закономерность, по которой изменяется емкость каждого последующего конденсатора. Это геометрическая последовательность, знаменатель которой

 

Происходит перераспределение заряда между 1 и 2 конденсаторами; величина заряда q2 может быть выражена из условия равенства напряжений на обоих конденсаторах и закона сохранения заряда, т. е. . Отсюда легко находим:

  

Используя соотношение , выражение для параметра ξ можно представить в виде:

  

Аналогичным образом получаем соотношение, выражающее заряд 3 конденсатора q3 через заряд предыдущего конденсатора q2:

  

Сравнивая выражения и , приходим к выводу, что величину заряда, получаемого каждым последующим конденсатором при его соединении с предыдущим можно рассматривать как очередной член геометрической прогрессии со знаменателем ξ. В дальнейшем, величину заряда, получаемого k-тым конденсатором, будем обозначать qk0. Тогда выражение для k-того члена геометрической прогрессии:

   

После того, как k-тый по счету конденсатор будет соединен со следующим в цепочке, он передаст дальше часть своего заряда; соответственно, уменьшится его напряжение:

  

Тогда величину заряда, оставшегося у k-того конденсатора, можно выразить формулой:

  

Энергия конденсатора выражается формулой:

   

Здесь значения напряжения и электроёмкости конденсатора необходимо брать для соответствующего конденсатора в соответствующем состоянии.

С учетом соотношений и легко находим выражение для энергии, получаемой k-тым по счету конденсатором:

  

По виду последнего выражения убеждаемся, что энергия очередного конденсатора также представляет собой соответствующий член геометрической прогрессии. Используя формулу , находим знаменатель этой прогрессии:

  

Таким образом, энергия k-того конденсатора выражается формулой:

  

Подставляя числовые значения величин, окончательно находим заряд 10 - го по счету конденсатора:

Находим также его энергию:

Ответ: q10 = 0,1 мкКл, W10= 30,7 нДж.

На главный раздел сайта: Задачи по физике