Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

«Гвоздь»

Гвоздь длиной 50 мм забивают в однородную стенку равномерными ударами молотка, причем после первого удара гвоздь зашел в стену на 10 мм. Сколько еще потребуется ударов, чтобы полностью забить гвоздь, если сила сопротивления стены пропорциональна глубине погружения гвоздя?

Дано: = 50 мм;  = 10 мм;

Найти:

Решение:

Полагая, что удар молотка по шляпке гвоздя является абсолютно неупругим, на основании закона сохранения импульса запишем:

  

Здесь mМ - масса молотка; m- масса гвоздя; vМ- скорость молотка в момент удара и u- начальная скорость гвоздя вместе с молотком. Из последнего соотношения выразим u, а также запишем выражение для кинетической энергии системы «молоток + гвоздь» в первое мгновенье после удара:

  

Преодолевая сопротивление среды, гвоздь продвинется в глубь стены на некоторую величину x1, причем весь запас кинетической энергии расходуется на совершение работы против силы сопротивления, т. е.

  

Здесь α - некий коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и средней глубиной погружения гвоздя после первого удара. Из соотношения получаем:

  

Так как по условию задачи все удары одинаковы, то система «гвоздь + молоток» получает при каждом ударе одинаковую порцию энергии. Однако перемещение гвоздя каждый раз будет разным, поскольку возрастает глубина погружения и, соответственно, сила сопротивления среды. В итоге после второго удара имеем:

 из этого соотношения получаем квадратное уравнение относительно x2:  = 0.

Решая уравнение, получаем (оставляем лишь один корень, имеющий физический смысл – величина перемещения гвоздя x2 должна быть положительной):

  

Аналогичным образом находим для третьего удара:

Соответствующее квадратное уравнение для x3 имеет вид: . Его решение (корень, имеющий физический смысл):

  

Сравнивая выражения и , можно уловить закономерность, которая позволяет записать алогичную формулу для перемещения после некоторого к-того удара:

  

Общее перемещение гвоздя после k ударов находим суммированием перемещений после каждого удара; получаем:

  

Теперь ответить на вопрос задачи совершенно легко: необходимое число ударов, чтобы забить гвоздь полностью, находим из соотношения :

  

В рассматриваемом случае общее число ударов ;
поскольку один удар уже был сделан, то осталось еще 24 удара.

Ответ: N=24.

«Насос»

Из сосуда емкостью 2 л выкачивают воздух с помощью насоса с рабочей камерой объемом 50 мл. Начальное давление воздуха в сосуде равно атмосферному давлению р0 = 760 мм рт ст. Считая процесс изотермическим, определить, через сколько циклов откачки давление воздуха в сосуде составит 10 мм рт ст.

Дано: Vb = 2 10-3 м3; Vn = 5 10-5 м3; р0 = 760 мм рт ст; рn=10 мм рт ст.

Найти: N.

Решение:

После очередного к – того цикла в сосуде устанавливается некоторое давление рk; насос захватывает порцию этого воздуха объемом Vn и выталкивает его в атмосферу; в сосуде устанавливается новое давление рk+1. Процесс протекает изотермически в соответствии с уравнением:

  

Получаем реккурентное соотношение, с помощью которого находим давление газа после очередного цикла:

 

С математической точки зрения соотношение (1.2) определяет геометрическую прогрессию, знаменатель которой

 

С помощью формулы (1.2) последовательно находим:

   

Что выразить число циклов N, необходимых для достижения давления , находим логарифм от обеих частей выражения в случае, когда :

  

Подставляя числовые значения величин, получаем:

Ответ: N = 175.

На главный раздел сайта: Задачи по физике