Математические методы решения физических задач

Купить декоративные балки в Нижнем - http://lesmas.ru.
Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Нормальные напряжения в стальной балке

длиной 4 м изменяются по длине (0 ≤ х ≤ 4 м) по закону , где σ0 = 400 , МПа. Принимая модуль Юнга для стали Е = 2 105 МПа, определите величину деформации растяжения балки.

Дано:   ; σ0 = 400 МПа; Е = 2 105 МПа; при 0 ≤ х ≤ 4 м.

Найти: ΔL.

Решение: Относительная деформация балки определяется обобщенным законом Гука: ; здесь dL – элементарное удлинение элементарного участка балки длиной dх. Нормальное напряжение σ(х) изменяется по длине балки в соответствии с выражением ; модуль Юнга остаётся постоянным для всей балки. Тогда общее удлинение балки ΔL можно найти интегрированием выражения в пределах от 0 до 4 м; получаем

  

Используя замену переменной интегрирования z = х – 2, dz = dх, получаем табличный интеграл; с учетом подстановки пределов интегрирования

, мм.

Определите силу гидростатического давления на купол подводной лаборатории, имеющий форму шарового сегмента радиусом R = 12 м и углом раскрыва α0 =600 и находящийся на глубине H = 50 м. Плотность морской воды ρ = 1031 кг/м3.

Дано: H = 50 м; α0 = 600; R = 12 м; ρ = 1031 кг/м3.

Найти: F.

Решение:

Учитывая симметрию купола, получаем, что сила гидростатического давления может иметь только вертикальную составляющую. Выбираем элементарную площадку dS на поверхности купола в виде в виде бесконечно тонкого кольца радиусом r = R sinα; тогда  .

Гидростатическое давление на выделенной площадке можно выразить в виде:   . Сила давления на площадку направлена перпендикулярно поверхности; чтобы найти именно вертикальную составляющую, помножим на . Тогда для элементарной силы получаем:  . Проводя интегрирование по углу α в пределах от 0 до α0, выражение представляем в виде суммы двух слагаемых, содержащих тригонометрические функции   и  соответственно.

  

В данном случае оказывается удобным использовать подстановку ; соответственно, . Пределы интегрирования  и . Тогда вместо получаем:

  

Интегралы, входящие в выражение табличные;  и . Подставляя верхний и нижний пределы интегрирования, получаем: . Подстановка числовых значений величин дает:

  ≈ 1,4∙108Н.

Ответ: F = 1,4∙108 Н.

В процессе политропного (n = 2) расширения газа его объем увеличился от 20 до 50 л. Какую работу при этом совершил газ, если его начальное давление составляло 240 кПа?

Дано: V1 = 20 л; V2 = 50 л; р1 = 240 кПа;

Найти: А12 

Решение: Работа газа выражается формулой:  ; из уравнения политропного процесса зависимость давления от объема может быть представлена в виде:

  

Подставляя последнее выражение в формулу и вынося за знак интеграла постоянные величины, получаем:

  

В данном случае, подынтегральная функция является степенной; используя табличные значения первообразной для степенной функции, получаем:

  

Подставляя числовые значения показателя политропы n = 2, начального V1 = 20 л и конечного V2 = 50 л объемов, а также начального давления р1 = 240 кПа, получаем:

  = 2880 Дж.

Ответ: А12 = 2880 Дж.

Идеальный двухатомный газ в количестве ν = 2 моль расширяется от объёма 2 л до 10 л по закону , где объем выражен в литрах, а давление в кПа. Найдите изменение энтропии газа в этом процессе.

Дано: V1 = 2 л,  V2 = 10 л; , кПа ;

Найти ΔS.

Решение:

Для идеального газа, используя определение энтропии, первый закон термодинамики и уравнение состояния, элементарное изменение энтропии можно выразить в следующем виде . Здесь Сv – молярная изохорная теплоёмкость; γ − показатель адиабаты. Конечное изменение энтропии получается в результате интегрирования по объему в указанных в условии пределах. При этом следует учесть заданную зависимость давления от объема. Однако в данном случае удобнее перейти к новой переменной интегрирования, воспользовавшись таблицей первообразных и свойствам логарифмической функции: , или  . Тогда независимо от конкретного вида функции р(V) в результате интегрирования в общем виде получаем: , или с учетом выражения .

Для двухатомного идеального газа Сv = 2,5 R, γ = 1,4. Разность логарифмов есть логарифм отношения; для заданной зависимости давления от объема находим:  .

Вычисления по формуле для заданных значений параметров дают окончательный ответ: ΔS ≈ 39,7 Дж/К

По диску радиусом R = 6 см распределен электрический заряд, причем поверхностная плотность заряда изменяется по радиусу диска в соответствии с выражением , мкКл/м2 , где значения r берутся в сантиметрах. Требуется найти q – величину заряда, распределенного по всему диску.

Дано: R = 6 см; , мкКл/м2.

Найти: q.

Решение:

Выберем на диске элементарную площадку в виде тонкого кольца радиусом r, 0 ≤ r ≤ R, шириной dr (см. рисунок). На эту элементарную площадку приходится заряд . Полный заряд на всем диске находим интегрированием выражения с учетом . Вынося константы за знак интеграла, получаем:

 

В данном случае имеем дело с интегрированием степенной функции; в соответствии с правилами интегрирования получаем:

 , мкКл. 

Здесь множитель 10-4 появился при переводе сантиметров выражения rdr в метры. Подставляя в выражение числовые значения при R = 0,06 м, получаем:  = 0,163 мкКл.

Ответ q = 0,163 мкКл.

По диэлектрическому стержню длиной L = 25 см распределен электрический заряд с линейной плотностью , мкКл/м. Найдите напряженность электрического поля в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии 0,8 L от его конца.

Дано: L = 25 см; , мкКл/м; а = 0,8 L.

Найти: Е.

Решение:

На элемент длины стержня dx приходится заряд dq = τdx; создаваемое им электрическое поле имеет напряженность в точке наблюдения

   

Напряженность электрического поля, создаваемого всем стержнем, получаем интегрированием последнего выражения в пределах от 0 до L:

  

В данном случае удобно использовать замену переменной интегрирования: x+0,8L = z; тогда x2+1 = z2−1,6L z+0,64L2+1; тогда с учетом значения коэффициента k = 9 109 получаем:

   

Последний интеграл распадается на три табличных интеграла; в итоге получаем

  

После подстановки числовых значений (L = 0,25 м) в выражение , получаем Е = 2,53∙104 В/м2 = 25,3 кВ/м.

Ответ: Е = 25,3 кВ/м.

Напряженность электрического поля (кВ/м) в некоторой области пространства имеет составляющую вдоль оси x (м), изменяющуюся по закону . Найдите разность потенциалов точек А (x1 = 0) и В (x2 = 1 м).

Решение:

Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля в данном случае принимает вид: ; т. е. все дело сводится к интегрированию выражения для напряженности . Получаем:  . Чтобы найти первый интеграл, используем метод интегрирования по частям; при этом ; . Тогда для первого интеграла  . Далее используем замену переменной интегрирования: 1+х2 = z, →dz = 2x dx; получаем тогда  . Второй интеграл в – табличный; таким образом,

= 0,378 кВ

Ответ: = 0,378 кВ = 378 В.

Определите индукцию магнитного поля В, создаваемого отрезком прямолинейного проводника с током І в точке С на расстоянии h от проводника, из которой концы отрезка видны под углами α1 и α2 (см. рис)

Дано: І, h; α1 и α2.

Найти: В.

Решение:

По закону Био – Савара – Лапласа, индукция магнитного поля dВ, создаваемого элементом тока І dх в точке наблюдения, лежащей на расстоянии r под углом α, выражается формулой  . Искомое значение индукции В, создаваемое всем отрезком проводника с током, получается в результате интегрирования выражения . Предварительно выразим переменные величины х, r через угол α: ;  . Тогда вместо после элементарных преобразований получаем:  . Первообразная для функции есть ; после подстановки пределов интегрирования получаем окончательный ответ: .

Длинный прямолинейный проводник с током силой I и проводящий контур в форме трапеции расположены в одной плоскости, причем проводник параллелен основаниям трапеции (см. рис); все необходимые размеры указаны на рисунке. Определите величину магнитного потока Ф через контур.

Дано: I; a, b, c, d

Найти: Ф

Решение:

По определению, магнитный поток через некоторую поверхность выражается формулой   , где Вn – нормальная составляющая индукция магнитного поля; dS – элементарная площадка на поверхности S. В данном случае, индукция магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником, , причем линии индукции проходят перпендикулярно поверхности, В = Вn. Выделим элементарную площадку на поверхности контура в виде бесконечно узкой полоски длиной  и шириной dr. Тогда величина магнитного потока через контур  . Используя правила интегрирования, получаем:   . Оба интеграла – табличные; окончательный результат интегрирования можно представить в виде:  .

На главный раздел сайта: Задачи по физике