Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Примеры решения задач

После включения двигателя вал некоторого механизма начинает раскручиваться, причем его угловое ускорение ε изменяется с течением времени по закону  рад/с2. Требуется найти 1) установившуюся частоту вращения вала, n об/мин; 2) среднюю угловую скорость вращения, ωср, рад/с, за первые 5 с движения.

Дано: ; .

Найти: n об/мин; ωср, рад/с.

Решение: 1) Исходя из определения углового ускорения, получаем: приращение угловой скорости ; начальная угловая скорость . Тогда в некоторый момент времени t угловая скорость определяется выражением:

  

Преобразуем подынтегральное выражение, представив числитель в виде суммы (ξ + 2) +4; тогда  и вместо выражения получаем:

 

После упрощения выражение для угловой скорости принимает вид:

 

Значение установившейся (через достаточно большее время) угловой скорости находим с помощью предельного перехода выражения при  Получаем = 20 рад/с. Соответствующая частота вращения будет равна  ≈ 191 об/мин.

2) Среднее значение угловой скорости за первые  секунд определяется формулой ; чтобы найти угол поворота вала за некоторое время , необходимо проинтегрировать выражение :

  

Для этого подынтегральное выражение удобнее преобразовать к виду:

. Для этого надо в числителе выделить выражение для полного квадрата: . Тогда интеграл распадается на три интеграла:

   

Все три интеграла – табличные; после интегрирования получаем:

  

Находим значения угла поворота:  = 60,66 рад. Тогда средняя угловая скорость = 12,13 рад/с.

Ответ: 1) n ≈ 191 об/мин; 2) = 12,13 рад/с.

Определить положение центра тяжести бревна длиной L = 6 м, диаметр которого изменяется согласно выражению: , м. Координата 0 ≤ х ≤ L указана в метрах; плотность древесины считается везде одинаковой. При окончательном подсчете, принять d0 = 0,24 м и α = 0,1 м-1.

Дано: ,м; ρ = const; α = 0,1 м-1; d0 = 0,24 м.

Найти: хС

Решение:

Положение (координату хС) центра тяжести бревна (см. рис) можно определить с помощью соотношения для момента силы тяжести М относительно конца, соответствующего началу координат: . Здесь вес однородного бревна  ; момент силы тяжести можно выразить формулой

   

Т. е. определение координаты центра тяжести хС сводится к вычислению интегралов   и . Первый из этих интегралов после замены х на у = -2αх, соответственно, dу = -2α dх, дает выражение

   

Для нахождения второго интеграла используем метод интегрирования по частям: . В данном случае получаем:  и ; тогда . В итоге получаем первообразную для подынтегральной функции в виде: ; после подстановки пределов интегрирования получаем следующее выражение: . Тогда момент силы тяжести относительно левого конца бревна с учетом выражается формулой  . Выражение для координаты центра тяжести хС принимает следующий вид: . Подставляя числовые значения величин, получаем   = 2,414 м.

Ответ: хС = 2,414 м.

На главный раздел сайта: Задачи по физике