Математические методы решения физических задач

www.remvip.ru
Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Интегрирование при решении физических задач

Операция интегрирования часто используется при решении разнообразных физических задач. Сама по себе искомая величина может иметь интегральный характер, т.е. по своей сути представлять собой суммарный результат совместного действия бесконечно малых факторов. Например, пройденный телом путь, работа, и др. (дифференциальные величины характеризуют состояние, процесс или явление в данной точке, в данный момент времени). Интегрирование как предельный случай суммирования большого числа малых вкладов необходимо в физических задачах с непрерывно распределенными параметрами.

Необходимые сведения из математики

Основные правила интегрирования.

1) Если , , где С – произвольная постоянная.

2) , где А – постоянная величина.

3) .

4) Если  и , то .

В частности,  .

Таблица простейших интегралов.

I. , . II. .

III. , .

IV. , , .

V. , .
VI. , .

VII. , ; .

VIII. .  IX. .

X. .  XI. .

XII. .

XIII. .

XIV. .  XV. .

XVI. .  XVII. .

Некоторые методы интегрирования

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой переменной.

2. Метод постановки

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Полагая , где t – новая переменная и  – непрерывно дифференцируемая функция, будем иметь: .

Функцию  стараются выбирать таким образом, чтобы первая часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид.

Тригонометрические подстановки.

а) Если интеграл содержит радикал , то обычно полагают ; отсюда .

б) Если интеграл содержит радикал , то полагают ; отсюда .

в) Если интеграл содержит радикал , то полагают ; отсюда .

 Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются выгодными. Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер.

3. Формула интегрирования по частям.

Если   и  – дифференцируемые функции, то

.

Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с помощью интегрирования по частям получают уравнения, из которого определяется искомый интеграл.

4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

1. Интегралы вида . Основной прием вычисления – приведение квадратного трехчлена к виду:

 , (*)

где   и  – постоянные. Для выполнения преобразования (*) удобнее всего из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользоваться подстановкой .

Если , то, приводя квадратный трехчлен к виду (*), получаем табличные интегралы III или IV (см. таблицу простейших интегралов).

2. Интегралы вида . Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу V, если , и VI, если .

3. Интегралы вида . С помощью обратной подстановки  эти интегралы приводятся к интегралам вида 2.

4. Интегралы вида . Путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из следующих двух основных интегралов:

а) ,

б) .

5. Интегрирование рациональных функций

1. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби

 , (*)

где   и  – целые многочлены, причем степень числителя  ниже степени знаменателя . Если

, где  l – различные действительные корни многочлена  и  – натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (*) на простейшие дроби:


(**)

Для вычисления неопределенных коэффициентов , , …,  обе части тождества (**) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменой  (первый способ). Можно также определить эти коэффициенты, полагая в равенстве (**), или ему эквивалентном,  равным подходяще подобранным числам (второй способ).

2. Метод Остроградского.

Если   имеет кратные корни, то

 , (***)

где   – общий наибольший делитель многочлена  и его производной ,

,  и  – многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней  и .

 Неопределенные коэффициенты многочленов  и  вычисляются при помощи дифференцирования тождества (***).

6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида

  , (*)

где   – рациональная функция и , , , , …–целые числа.

 Интегралы вида (*) находятся с помощью подстановки ,

где   – общее наименьшее кратное чисел ,

2. Интегралы вида

 , (**)

где – многочлен степени  Полагают ,  (***)

где  – многочлен степени  с неопределенными коэффициентами и  – число.

 Коэффициенты многочлена  и число  находятся при помощи дифференцирования тождества (***).

  3. Интегралы вида  приводятся к интегралам вида (**) с помощью подстановки .

7. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида

  (*)

где   и  – целые числа.

1) Если  – нечетное положительное число, то полагают

.

Аналогично поступают, если  – нечетное положительное число.

2) Если  и  – четные положительные числа, то подынтегральное выражение (*) преобразуется с помощью формул:

, , .

3) Если  и  – целые отрицательные числа одинаковой четности то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

  и .

4) Интегралы вида  (или ),
где   – целое положительное число, вычисляются с помощью формулы  (или соответственно ).

5) В общем случае интегралы  вида (*) вычисляются с помощью формул приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием по частям.

 2. Интегралы вида
,  и .

В этих случаях применяются формулы:

1) ;

2) ;

3) .

3. Интегралы виды

  , (**)

где – рациональная функция.

1) С помощью подстановки , откуда , , , интегралы вида (**) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной .

2) Если имеет место тождество , то для приведения интеграла (**) к рациональному виду можно применить подстановку . Здесь  и .

8. Интегрирование гиперболических функций

  Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично интегрированию тригонометрических функций.

 Следует помнить основные формулы:

1) ; 2) ;
3) ; 4) .

9. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок для нахождения интегралов вида

 , (*)

где   – рациональная функция.

 Преобразуя квадратный трехчлен  в сумму или разность квадратов, сводим интеграл (*) к одному из следующих типов:

1) ; 2) ; 3) .

Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок:

1)   или , 2)  или ,

3)   или .

На главный раздел сайта: Задачи по физике