Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Примеры решения физических задач с использованием дифференцирования

Из стальной проволоки сделали кольцо радиусом 50 см. С какой максимальной частотой может вращаться кольцо вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца, если допустимое напряжение в сечении 160 МПа, а плотность материала 7,8 г/см3?

Дано: R = 50 см;  = 160 МПа; ρ = 1,8 г/см3

Найти: n

Решение:

При вращении кольца в его сечении возникают механические напряжения, обусловленные действием центробежной силы на каждый из участков кольца. Рассмотрим малый участок кольца, определяемый центральным углом 2α (см. рис.). Очевидно, масса ∆m этого участка составляет некоторую малую долю массы всего кольца, определяемую как отношение длины дуги выделенного участка к длине окружности; тогда центробежную силу, действующую на этот участок кольца, можно выразить:

 

Здесь  - угловая скорость вращения кольца.

Условие равновесия выделенного кольца выражает равенство нулю всех сил, действующих на этот участок:

  

Здесь  - продольная сила упругости, возникающая в сечении кольца. Из соотношений и получаем:

   

Массу кольца можно выразить через плотность материала и объем:

  

Тогда уравнение принимает вид:

  

Отсюда выражаем силу упругости :

  

Окончательное выражение для силы упругости получаем с помощью предельного перехода, т. е.

  

Механическое напряжение определяется формулой ; тогда из условия прочности  получаем:

  

Из последнего соотношения выражаем частоту вращения n:

  

Подставляя числовые значения величин, предварительно выражая их в системе СИ, получаем:

Ответ: максимальная частота вращения .

Диск радиусом R = 2 см несет на себе равномерно распределенный электрический заряд q = 4 нКл. Считая известным распределение напряженности электрического поля по оси диска: , где α - угол, под которым виден радиус диска с некоторой точки оси диска, найдите значение напряженности поля в точках, удаленных от плоскости диска на расстояния а) 0,2 мм и б) 2 м

Дано: R = 2 см;  q = 4 нКл; h1 = 0,2 мм; h2 = 2 м;

Найти: Е1; Е2

Решение:

Очевидно, что в первом случае расстояние от плоскости диска до точки наблюдения значительно меньше размеров самого диска, т. е. отношение . Учтем, что  можно выразить через радиус диска R и расстояние от плоскости диска h:

  

Преобразуем выражение для напряженности, совершая предельный переход при .

 

Полученное выражение можно преобразовать, представляя коэффициент пропорциональности k в виде: ; тогда

  

 что совпадает с формулой для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной плоскостью с равномерным распределением заряда. Подставляя числовые значения, находим:

Во втором случае расстояние h2 от диска до точки наблюдения значительно больше радиуса диска, что соответствует условию . Выражая радиус диска через угол α, из выражения для Е получаем:

  

Чтобы получить формулу, справедливую для случаев, когда , находим предел соотношения при :

   

Имеем неопределенность типа ; чтобы раскрыть ее, можно либо использовать правило Лапиталя, либо преобразовать тригонометрическое выражение в числителе. В первом случае получаем:

   

Во втором случае используем формулы для синуса и косинуса двойного угла, что дает:

  

Окончательное выражение для напряженности электрического поля заряженного диска на достаточно большом от него расстоянии принимает вид:

   

что совпадает с известным выражением для поля точечного заряда.

Вычисления по формуле дают:

Ответ: .

Уравнения движения материальной точки на плоскости имеют вид: , см, , см. Найдите скорость, ускорение точки, а также необходимую для движения мощность Р1 в момент времени t1 = 1 с, если масса точки m = 100 г.

Дано: , см;  , см; t1 = 1 с,  m = 100 г.

Найти: Р1

Решение:

Мгновенная мощность Р1 может быть выражена через мгновенную скорость точки v1 и действующую в этот момент времени силу F1; в свою очередь, действующую на точку силу легко выразить через ее массу и ускорение; в итоге получаем:

  

Здесь использовано выражение для скалярного произведения векторов. Чтобы воспользоваться формулой , необходимо найти скорость и ускорение точки в момент времени t1 = 1 с.

Модуль скорости точки выражается через проекции вектора скорости на оси координат:

  

Скорость точки в проекциях на оси координат равна производной от координат по времени, т. е.

  

По формуле и находим числовые значения скорости в момент времени t1 = 1 с, учитывая, что . Получаем:

Находим проекции вектора ускорения на оси координат как производные от скорости по времени:

Находим числовые значения проекций ускорения в момент времени t1 = 1 с:

Используя соотношение , находим мгновенную мощность:

.

Ответ: ; ; .

Колесо радиусом 20 см вращается по закону: , рад. Найдите полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, в моменты времени, когда скорость вращения равна 0.

Дано: R = 20 см; .

Найти: а0

Решение:

Находим угловую скорость колеса как производную от угла поворота по времени:

  

Выражение для угловой скорости представляет собой квадратный трехчлен; его корни определяются условием:  = 0, т. е.

  

Угловое ускорение колеса находим как производную от угловой скорости по времени:

  

В моменты времени t1 = 1 с и t2 = 3 с угловое ускорение колеса принимает значения: ε1 = 1,2 с-2; ε2 = -1,2 с-2.

Полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, может быть представлено как векторная сумма нормального и тангенциального ускорений; т. к. эти векторы взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения выражается формулой:

  

Учитывая соотношение , полное ускорение точек на ободе колеса из выражения в моменты времени t1 = 1 с и t2 = 3 с будет составлять а1 = а2 = 0,24 м/с2.

Ответ: а1 = а2 = 0,24 м/с2.

Материальная точка массой 10 г движется по плоскости в соответствии с уравнениями:  (x, y выражены в см; t – в сек) Найдите модуль силы, действующей на точку в момент времени t1 = 3 c.

Дано: , см; t1 = 3 c; m = 10 г.

Найти: F1

Решение: Искомую силу можно выразить с помощью второго закона Ньютона через массу и ускорение; если в проекциях на оси координат , то модуль силы ; тогда для решения задачи необходимо лишь найти ускорения точки в заданный момент времени.

Находим сначала выражения для скорости точки в проекциях на оси координат:

  ;  .

Находим ускорение точки в проекциях на оси координат:

;

 .

В момент времени t1 = 3 c из соотношений и получаем:

  м/с2 ;  м/с2.

Искомая сила теперь выражается формулой:

  Н = 8,46 мН.

Ответ: F1 = 8,46 мН.

Лазерная резка оргстекла в Запорожье и Днепре по материалам http://poligraf.zp.ua.

На главный раздел сайта: Задачи по физике