Математические методы решения физических задач

Математическая физика
Числовые последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Системы алгебраических уравнений
Пример «Смесь газов»
Дифференцирование при решении
физических задач
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Интегрирование при решении физических задач

Элементарная математика

Числовые последовательности и прогрессии

Необходимые сведения из математики

Довольно часто протекающие физические процессы или явления описываются числовыми последовательностями. Среди множества числовых последовательностей выделяются арифметическая и геометрическая последовательности.

Арифметическая последовательность (аn)

Дифференциал функции Типовые расчеты (курсовые задания) по математике

Определяется условиями: 1) а1 = а; 2) аn+1 = аn+d, где d – разность арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии:

Формула n-го члена: .

Формула суммы n первых членов последовательности:

.

Геометрическая последовательность (bn)

Определяется условиями: 1) ; 2)

Здесь q – знаменатель прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

.

Формула n-го члена: 

Формула суммы n первых членов последовательности:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

, где .

Примеры решения задач

«Тележка»

Тележка массой 20 кг может двигаться без трения по горизонтальному участку пути, но в начальный момент времени покоится. В задний борт тележки один за другим ударяются и упруго отскакивают мячи; масса каждого 400 г. Скорость мячей до удара (относительно дороги) одинакова и равна 20 м/с. Какую скорость приобретает тележка после попадания 10-го мяча?

Дано: М = 20 кг; m = 0,4 кг; u = 20 м/с; v0 = 0; n = 10.

Найти: v10.

Решение:

Учитывая, что тележка движется в горизонтальном направлении (вдоль оси х) без трения, запишем закон сохранения импульса в проекции на ось х после k+1 (абсолютно упругого) удара мяча:

  .

Здесь  vК и vК+1 – скорости тележки до- и после удара; u1 – скорость мяча (относительно дороги) после удара. По закону сохранения энергии получаем:

 

Группируя слагаемые с одинаковой массой по одну сторону равенства, из уравнений и получаем:

  

  

Разделив второе уравнение на первое, а также вспомнив формулу для разности квадратов, получаем:

 

Получаем систему из двух линейных алгебраических уравнений и , решение которой дает: разделим первое уравнение на m, сложим уравнения; тогда

  

Для k = 0, начальная скорость тележки v0 = 0; отсюда скорость тележки после первого удара мяча . Обозначая , последнее уравнение запишем в виде:

  

Получили так называемое реккурентное соотношение – правило, по которому можно найти следующий член числовой последовательности (vК+1), если известен предыдущий член (vК). Применяя формулу для k = 2, получаем

 

Для скорости тележки после третьего удара, т.е. для k = 3, получим:

 

Продолжая дальше, для скорости тележки после очередного k –того удара мяча получаем

  

Выражение в скобках представляет собой сумму SК-1 членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1, а знаменатель равен q. Эта сумма выражается формулой:

  

Соответственно, из формул и получаем выражение для скорости тележки после k –того удара в виде:

  

Используя полученные выше соотношения, в данном случае получаем:

 = 0,784314 м/с;  =0,96078; тогда после 10-го удара  = 6,59431 м/с ≈ 6,6 м/с.

Ответ: v10 ≈ 6,6 м/с.

На главный раздел сайта: Задачи по физике