Дифференциалы высших порядков Интегрирование функций нескольких переменных Mеханические приложения интеграла Длина дуги в декартовых координатах
Вычисление криволинейных интегралов I рода
Типовые задачи
Длина дуги
а) Длина дуги в декартовых координатах
ПРИМЕР 3. Вычислить длину одного витка винтовой линии
,
,
.
Решение. Винтовая линия – траектория точки, "поднимающейся" по круговому цилиндру со скоростью
. Длину одного витка
найдем, если вычислим
.
б) Длина плоской дуги в полярных координатах
Пусть
,
– дуга на плоскости
(
).
Выведем формулу для вычисления ее длины.Поскольку
параметр
, то
. Поэтому
.
Механические приложения Вычислить массу дуги
![]()
![]()
Вычислить момент инерции относительно плоскости
дуги
![]()
, если плотность распределения массы в каждой точке дуги пропорциональна произведению
Вычислить повторный интеграл
, восстановив область
.
Вычислить повторный интеграл
.
Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида
,
Пространство
имеет размерность
, его "базис" состоит из
линейно независимых элементов из
.
Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций
Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ
отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений
,
ОЛДУ.
Найти ФСР ОЛДУ
. Записать общее решение. По НУ:
выделить частное решение.
Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно
СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций
Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений
Пространство переменных
СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной
Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.
Является ли двухпараметрическое семейство функций
,
общим решением СДУ
![]()
Свести СДУ
к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.
Метод интегрируемых комбинаций
– СДУ второго порядка сводится к ДУ
, откуда
и из первого уравнения
, т.е.
– общее решение СДУ.
СДУ в нормальной форме
может быть представлена в виде
, симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ
Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида
Рассмотрим вектор-функции
и
. При каждом
![]()
и
линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на
эти функции линейно независимые.
Теорема о структуре общего решения СОЛДУ
Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ
Общее решение СОЛДУ
запишется
, где
– произвольный вектор,
. При этом задача Коши
имеет единственное решение
, поскольку из соотношения
имеем
.
Пример Решить СДУ
Решить СОЛДУ
.
ПРИМЕР 4. Вычислить длину кардиоиды
.
Решение. Используя симметрию кривой, получим
.
На главный раздел сайта: Курсовая по математике |
|