Дифференциалы высших порядков Интегрирование функций нескольких переменных Mеханические приложения интеграла Длина дуги в декартовых координатах


Выполнение контрольной по математике. Решение интегралов

Интегрирование функций нескольких переменных

ФНП   рассматривается на некотором множестве , , . Пусть  – ограниченное, связное и замкнутое множество точек из ; впредь для краткости такое множество  будем называть фигурой . Интеграл ФНП по фигуре  строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры . Так, например, в школьном курсе математики содержится первоначальное понятие определенного интеграла  функции , , . Здесь функция имеет одну независимую переменную, фигура  – отрезок.

Для функции двух переменных , очевидно, интеграл можно строить на дуге  или на плоской области , , . Функция трех переменных может рассматриваться на дуге ,
на части криволинейной (может быть и прямолинейной) поверхности , на "теле" , здесь , ,  – подмножества  и т.д.

Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок , дуга  в  или в  имеют размерность  
(одноразмерные фигуры); плоская область ,  и часть
поверхности ,  – двухразмерные фигуры; "тело"  – трехразмерная фигура.

Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок , дуга  в  или в  имеют размерность  
(одноразмерные фигуры); плоская область ,  и часть
поверхности ,  – двухразмерные фигуры; "тело"  – трехразмерная фигура.

Понятие интеграла ФНП Для построения интеграла ФНП  по фигуре , , используется следующая процедура построения интегральной суммы и переход к пределу.

В зависимости от числа независимых переменных функции, размерности и меры фигуры интеграл  имеет различное представление, интерпретацию и способ счета.

Теорема необходимое условие существования определенного интеграла

Пусть , ,  – множество точек из , т.е. .

Построить схематично график функции  на множестве :

Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства этого множества.

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.

Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

Показать, что функция   непрерывна в точке  по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям

Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

Некоторые свойства интеграла ФНП

Геометрические свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и
достаточные условия их существования.

Сведем в таблицу предлагаемые термины для лучшего запоминания.

,

Фигура ,

Размерность фигуры ,

Мера
фигуры ,

Отрезок

, одноразмерная

Длина

Дуга

, одно-
размерная

Длина

Плоская

область

двухразмерная

Площадь

Часть

поверхности

двухразмерная

Площадь

 Тело

трехразмерная

Объем


На главный раздел сайта: Курсовая по математике