Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Примеры решения задач

Пример 11. Решить задачу Коши .

Решение.

Полагая , получим  или  откуда ; .

Разделяя переменные, найдем . Интеграл в правой части в элементарных функциях не вычисляется, как интеграл от дифференциаль-

ного бинома, случай неберущегося интеграла.

Но если использовать начальные условия , то  и тогда

Ответ: .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод подбора или метод неопределенных коэффициентов.

Пример 19. Решить методом Коши .

По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его. Дифференциальные уравнения являются математической моделью реальных процессов. При составлении д.у. мы пользуемся законами конкретных наук, таких как физика, химия, биология, экономика. Рассмотрим несколько примеров.

Геометрические приложения. В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t , нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.

Упражнения. Составить дифференциальное уравнение и решить его. На материальную точку масса m действует постоянная сила, сообщая точке ускорение а . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен k. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое?

Упражнения. Решить уравнения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

Задача 9. Линейные дифференциальные уравнения 2– го и n–го порядка.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

 , (1)

где  - вещественные постоянные числа. Решение уравнения (1) находим в виде 

  - подстановка Эйлера (2)

 - неизвестная постоянная. Подставляя (2) в (1), получим уравнение

 , (3)

которому удовлетворяет .

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением.

Пусть  - корни уравнения (3), причем среди них могут быть и кратные.

Возможны следующие случаи:

1)  - вещественные и различные

Тогда фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид   и общим решением искомого уравнения будем

 .

2) Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например,

 , т. е.  – является  – кратным корнем уравнения (3), а остальные  корнем различные.

Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид

 ,

а общее решение

 .

3) среди корней характеристического уравнения есть комплексные числа.

Пусть для определенности

 ,

А остальные корни вещественные (комплексные корни попарно сопряженные, т. к. по предположению коэффициенты уравнения (3)  – вещественные).

Фундаментальная система решений имеет вид

 

 

а общее решение

 

4) в случае, если  является – кратным корнем уравнения (3), то  также будет – кратным корнем и фундаментальная система решений будет иметь вид

 

а общее решение

 

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Составляем характеристическое уравнение .

Находим . Так как все они действительные и различные, то общее решение имеет вид  .

Пример 13. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид 

.

Отсюда . Корни вещественные, причем один из них  – двукратный, поэтому общее решение имеет вид

 .

Пример 14. Решить уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение  имеет корни .

Общее решение

 .

Пример 15. Решить уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение  или  имеет корни – однократный и – пара двукратных

мнимых корней. Общее решение

 .

Упражнения. Проинтегрировать следующие однородные линейные уравнения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ:  

 .

4)  Ответ: ,

 . .

На главный раздел сайта: Математика