Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Примеры решения задач

Задача 2. Однородные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение (д.у.)

 

Называется однородным д.у. относительно  и , если функция  является однородной функцией своих аргументов нулевого измерения. Это значит

. Например функция  - однородная

функция нулевого измерения.

Однородное д.у. всегда можно представить в виде

  (1)

Введя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными:

  или  переменные разделяются.

Пример 3.

Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде , разделив на  обе части уравнения. Сделаем замену . Тогда , . Получим  или .

Разделяя переменные, будем иметь  .

Отсюда интегрированием находим

  или

, так как , то обозначая , получим

. Заменяя  на , будем иметь общий интеграл

, отсюда  - общее решение.

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ:   .

4. . Соберем коэффициенты при  . Ответ: .

Задача 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

  (1)

где  - заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменным и имеет общее решение

 .

Общее решение неоднородного уравнения можно найти следующими способами:

1) методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что

решение уравнения (1) находится в виде

, где - новая неизвестная функция.

2) уравнение (1) может быть проинтегрирован с помощью подстановки , где  - неизвестные функции от .

3) решение уравнения (1) можно найти еще и по формуле

 .

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно  как функции от . Нормальный вид (коэффициент при  равен 1) такого уравнения

  ()

Пример 4.

Решить уравнение .

Решение. Вид уравнения нормальный

.

 Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. .

Приводим к виду ,  и решаем по формуле . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

Уравнение линейное относительно функции . Приводим его к виду

 или .

На главный раздел сайта: Математика