Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Примеры решения задач

Вычисление координат центра тяжести. Теоремы Гюльдена

Найти координаты центра тяжести цепной линии  между  и .

Решение. Т. к. дуга симметрична относительно оси , то центр тяжести лежит на оси Оу и, следовательно . Найти  по формуле .

Т. к. , то   и, следовательно,

.

.

.

Найти центр тяжести одной арки циклоиды

.

Решение. Т. к. арка циклоиды расположена симметрично относительно прямой , то центр тяжести дуги циклоиды лежит на этой прямой и, следовательно, .

Найдем . Длина дуги одной арки циклоиды равна .

.

Задачи на нахождение работы и давления Найти давление на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен , а верхний диаметр лежит на свободной поверхности воды.

Однородные дифференциальные уравнения

Уравнение Бернулли

Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка. Определить тип дифференциального уравнения и указать в общем виде метод его решения:

Найти центр тяжести дуги кардиоиды .

Решение. Декартовы координаты .

;

 

. Для половины кардиодиды .

Сначала находим

Найти центр тяжести однородной треугольной пластинки.

Решение. Разбиваем данную пластинку прямыми параллельными одной из сторон на бесконечно тонкие полоски. Площадь полоски, отстоящей на расстояние   от данной стороны а, равна 

, где  — высота, опущенная на сторону а, а — ширина полосок. Следовательно, расстояние центра тяжести от этой стороны равно:

.

Таким образом, центр тяжести треугольника находится на расстоянии, равном  высоты от соответствующей стороны, т. е. в точке пересечения его медиан, ибо это единственная точка, обладающая таким свойством.

Найти центр тяжести площади, ограниченной осью Ох и одной аркой циклоиды .

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой , следовательно, центр тяжести ее находится на этой же прямой и отсюда .

Площадь данной фигуры , следовательно,

По теореме Гюльдена вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением круга радиуса вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстояние .

Решение. Т. к. длина данной окружности равна , а длина окружности, описанной центром тяжести ее, равна , то площадь поверхности тора, по 1-й теореме Гюльдена, равна

.

Вычислить объем и боковую поверхность прямого кругового конуса.

Решение. Боковая поверхность конуса с высотой , образующую  и радиусом основания  получается при вращении гипотенузы длиной вокруг катета длиной . Центр тяжести гипотенузы находится на ее середине и удален от оси вращения на . Поэтому, по первой теореме Гюльдена, боковая поверхность равна .

Площадь треугольника равна  центр тяжести его, находясь на пересечении медиан, отстоит от катета  на расстоянии, равным  высоты, опущенной на этот катет, т. е. , следовательно, по 2-й теореме Гюльдена, объем конуса равен .

Найти центры тяжести

1. Найти координаты центра тяжести дуги кривой  между точками, для которых  и .

2. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а в первой четверти.

3. Найти центр тяжести дуги гипоциклоиды  , расположенной в первой четверти.

4. Найти центр тяжести половины площади эллипса, опирающейся на большую ось.

5. Найти центр тяжести фигуры, заключенной между параболой  и осями координат.

6. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной эллипсом  и окружностью  и расположенной в первой четверти.

7. На цилиндре, имеющем диаметр b см, кругом вдоль поверхности вырезан канал, имеющий поперечным сечением равносторонний треугольник со стороной a см (a<b). Вычислить объем срезанного материала.

8. Правильный шестиугольник со стороной a вращается вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом получается.

9. Первая арка циклоид  и

вращается вокруг оси 0y. Найти объем и поверхность тела, которое при этом получается.

свидетельство о классе опасности отходов
На главный раздел сайта: Математика