Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Примеры решения задач

Физические приложения определённого интеграла

Вычисление статических моментов

Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем центр окружности в качестве начала координат, а диаметр расположим по оси Ох. Тогда ,

где  — дифференциал длины дуги кривой .

Уравнение полуокружности

.

2. Найти статический момент прямоугольника с основанием  и высотой  относительно его сторон.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось  совпала с основанием, а начало координат — с вершиной прямоугольника, ось Оу совпала с высотой прямоугольника. Тогда , в нашем случае .

Для вычисления  следует принять за независимую переменную при , но это приведёт к виду , который подстановкой  приводится к , но проще опять выразить через ,
т. е.  и по подстановке  приведём к . Обозначим , т. е.

  при ,  и при , , так что

.

Исходный интеграл будет

Но т. к.  не существует, то возможен только , т. е. окончательно

.

3. Найти статический момент тела, ограниченного одной аркой циклоиды  относительно оси Ох.

Решение. Параметр для одной арки циклоиды изменяется от до .

Найти статические моменты:

Дуги эллипса , расположенной в первой четверти относительно осей Ох и Оу.

Дуги параболы  относительно осей Ох и Оу от  до .

Дуги астроиды , лежащей в первой четверти относительно оси Оу.

Дуги косинусоиды  от  до  относительно оси Ох.

Фигуры, ограниченной следующими линиями:

а)  и  относительно оси Ох;

б)  и  относительно оси Ох.

Прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным , относительно этого катета.

На главный раздел сайта: Математика