Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Примеры решения задач

Объемы тел вращения

1. Вычислить объем эллипсоида вращения вокруг оси Ох.

Решение. Эллипс  вращается вокруг оси Ох.  ,

2. Найти объем тора, образованного вращением круга  вокруг оси Ох.

Решение. Объем тора равен разности объемов, полученных от вращения криволинейных трапеций, одна из которых ограничена сверху верхней полуокружностью, а другая ограничена сверху нижней полуокружностью. С боков обе трапеции ограничены ординатами  и  и снизу осью Ох.

Для верхней полуокружности , а для нижней — , то

3. Вычислить объем прямого конуса высотой h и радиусом основания r.

Решение. Будем рассматривать конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из катетов.

Уравнение ОА будет .

.

4. Найти объем тела, полученного от вращения кругового сегмента с хордой 2а вокруг оси, параллельной хорде.

Решение.

Уравнение окружности , а уравнение прямой АС: .

Искомый объем есть разность объема шара и объема, полученного от вращения прямой  вокруг оси Ох.

,

так как

.

Найти объёмы тел вращения

1. Астроиды вокруг оси Ох.

2. Циклоиды:  около оси Ох.

3. Циклоиды: ;  вокруг оси Ох и вокруг оси Оу.

4. Сегмента параболы  отсекаемого хордой, проходящей через фокус параболы перпендикулярной к оси  вокруг оси  и оси Оу.

5. Гиперболой  и прямыми ,  вокруг оси Ох.

6. Одной полуволны синусоиды  вокруг оси Ох.

7. Конуса, производимой вращением вокруг оси части прямой , содержащейся между осями координат.

8. Кривой  вокруг оси Ох.

4.5. Площади поверхности тел вращения

1. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы  вокруг оси Ох от  до .

Решение. .

.

2. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Будем рассматривать шар как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности  вокруг оси Ох, тогда ; т. к.  — четная функция,

то.

3. Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг каждой из осей циклоиды  .

Решение. Площадь поверхности вращения вокруг оси Ох  для целой ветви, а вокруг оси Оу — для полуветви , взятыми между соответствующими пределами.

так, что

,

но

т. е.  равна   поверхности соответствующего шара,   равна  поверхности соответствующего шара.

4. Найти площадь поверхности вращения эллипсоида.

Решение. Если эллипс  вращается около большой оси , то получается «удлинённый» эллипсоид вращения, а если около малой оси , то — «сжатый». Площади их поверхностей не одинаковы и выражаются формулами:

 , где , но

, так что

, где   — эксцентритет,

; , и тогда

,

  

  

,

т. е. ;

.

Найти площади поверхностей вращения:

1. Астроиды около оси Ох .

2. Тора, т. е. кольца, полученного от вращения круга около оси, лежащей в его плоскости, но не пересекающей его площадь.

3. Задача Вивиани: найти площадь поверхности, вырезаемого из шара двумя прямыми круговыми цилиндрами, имеющими в основании круги, построенные на радиусах шара и общей образующей — диаметр шара.

4. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса  вокруг оси Ох.

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой ;  вокруг оси Ох.

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги синусоиды  от точки  до точки .

7. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой  и радиусом .

8. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты   вокруг полярной оси.

9. Найти площадь поверхности, полученной вращением кардиоиды   вокруг полярной оси.

На главный раздел сайта: Математика