Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Примеры решения задач

Длина дуги плоской кривой

1. Вычислить длину дуги кривой  от точки  до точки .

Решение.  или .

Воспользуемся первой формулой:

; .

.

2. Вычислить длину дуги параболы  от точки  до точки .

Решение. Воспользуемся второй формулой. При , при . Из уравнения параболы  .

3. Вычислить длину одной арки циклоиды.

Решение.  , тогда

.

Параметр t изменяется от 0 до 2π.

.

4. Найти длину кривой .

Решение. Когда угол φ изменяется от 0 до , полярный радиус ρ возрастает от 0 до а. Затем при изменении φ от  до 3π величина ρ убывает от а до 0. Таким образом, .

Вычислить длину дуги:

1. Цепной линии

2. Кардиоиды .

3. Астроиды .

4. Эвольвенты круга .

5. Кривой, заданной уравнениями ,

.

6. Винтовой линии: , , h — ход винта.

7. Одного витка спирали Архимеда .

4.3. Вычисление объемов тел

1. Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара  плоскостями х = 1 и х = 2.

Решение. Плоскости, перпендикулярные к оси Ох, пересекают шар по окружностям радиуса . Площадь сечения , тогда .

2. Вычислить объем тела, отсекаемого от кругового цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основанию под углом α.

Решение.

Рис. 10

Разобьем тело на слои плоскостями, перпендикулярными к оси Oy. В сечении плоскостью, отстоящей от начала координат на расстоянии у, получим прямоугольный треугольник МРВ, у которого , ; ,

.

3. Вычислить объем поверхности эллипсоида .

Решение.

В первой октанте сечения, перпендикулярные оси Ох дадут четверти эллипсов. Выразим площадь перпендикулярного сечения в виде функции от переменного х. Например, сечение DEF имеет площадь . Найдем DE как ординату кривой АВ, то есть  . Таким же образом найдем EF. Из уравнения кривой АС: ; так что ,

.

Вычислить объемы тел:

1. Эллиптического параболоида , ограниченного плоскостью .

2. Вырезанного из шара двумя цилиндрами, имеющими в основании круги, построенные на радиусах шара и общей образующей — диаметр шара (задача Вивиани).

3. Образованного пересечением двух цилиндров (прямых круговых) под прямым углом.

4. Ограниченного однополостным гиперболоидом  и плоскостями  и .

5. Правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h.

6. Отсеченного от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания. Радиус основания равен R, высота тела равна h.

На главный раздел сайта: Математика