Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная работа №3 Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей

1. Вычислить площадь фигуры ограниченной эвольвентой круга, заданной уравнениями: .

Подпись: 			     M



	B	        r
		         T
	        t       q
	        0        A
	        
		         T

 


Эвольвентой круга называется кривая, для которой окружность служит разверткой, т. е. геометрическим местом центров кривизны. Ее можно рассматривать как траекторию, описываемую точкой A при качении прямой T по кругу. Условие качения без скольжения дает: , , следовательно, . Из  находим полярный радиус — вектор OM.

Т. к. BM есть касательная, то .

Кроме того, , т. е. , откуда , т. е.   ; .

Определенный интеграл от ограниченной функции Вычислить определенные интегралы по определению

Вычисление определенных интегралов из геометрических соображений

Функция задана параметрическими уравнениями

2. Вычислить площадь, ограниченную лемнискатой

.

Подпись: 		  y


			          x

Перейдем к полярным координатам  , тогда уравнение кривой примет вид: .

Тогда .

Очевидно, из уравнения , что в первой четверти  изменяется до , следовательно, вся площадь равна .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной декартовым листом .

Подпись: 		   y



			          x

Полагая  , находим полярное уравнение

 

(делим почленно на ; )

= .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Подпись: 	        y

		r
		  q
		2a	       x


.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной цепной линией .

.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой.

Подпись:            y




			       x
	      x1         x2
Уравнение гиперболы  или .

.

Вычислить площади следующих фигур:

1. Площадь трапеции, ограниченной дугой параболы , прямыми ,  и отрезком оси Ох.

2. Площадь трапеции, ограниченной дугой параболы  и отрезком прямой .

3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой .

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой , , прямыми ,  и осью Ох.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , прямыми ,  и осью Ох.

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ,  и осью .

8. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды ,  и осью абсцисс.

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой , .

10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой .

На главный раздел сайта: Математика