Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная работа №3 Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.

Криволинейные и поверхностные интегралы

Элементы теории поля

Схема построения криволинейного интеграла первого рода аналогична схеме построения определенного интеграла. Пусть непрерывная функция  задана непрерывной кривой L, лежащей в плоскости . Разобьем линию интегрирования на элементарные части , вычислим значения функции в произвольной точке каждого элементарного участка кривой и умножим  значения функции в точках кривой на длины соответствующих элементарных дуг. Сумма таких произведений

называется интегральной суммой.

Криволинейным интегралом первого рода от функции  по кривой L называется предел интегральных сумм при условии , т. е. при неограниченном увеличении числа элементарных частей, когда все элементарные участки стягиваются в точку:

.

Свойства криволинейного интеграла совпадают со свойствами определенного интеграла (вынос постоянного множителя, почленное интегрирование, разбиение линии интегрирования на части).

Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и .

Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Пример 7. Вычислить , где  – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы

Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Геометрически криволинейный интеграл первого рода от неотрицательной функции  вдоль контура L есть площадь цилиндрической поверхности (см. рис. 40)

,

если же подынтегральная функция , то криволинейный интеграл от элемента дуги   есть длина кривой L:

.


Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги используется одна из следующих формул:

а) если кривая задана уравнением , то

и

; (73)

б) если кривая задана параметрически

,

то  

и

; (74)

в) если кривая задана уравнением , то

 

и

. (75)

Замечания. Кривая в пространстве обычно задается параметрически:

 

и

. (76)

Кроме длины дуги, площади цилиндрической поверхности с помощью криволинейного интеграла первого рода можно вычислить массу кривой, моменты инерции дуги кривой относительно осей координат и начала координат, а также координаты центра тяжести дуги.

Формулы для их вычисления аналогичны соответствующим формулам с использованием двойного интеграла для плоской пластины.

Криволинейный интеграл от непрерывной в некоторой области плоскости   функции  по координате  вдоль плоской непрерывной или кусочно-непрерывной кривой L, расположенной в этой области, связан с криволинейным интегралом первого рода соотношением

,

где  – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и положительным направлением оси  (рис. 42). Аналогично

,

где  – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и положительным направлением оси  (рис. 42). Так как , то .

Обычно рассматривают сумму интегралов по координате  и по координате , которая записывается в виде

. (77)

Криволинейный интеграл второго ряда обладает теми же свойствами, что и интеграл первого рода, только в отличие от интеграла первого рода смена направления движения по контуру интегрирования влечет за собой смену знака интеграла.

Для вычисления интеграла (77) используется одна из следующих формул:

а) если кривая задана уравнением  и при перемещении из точки  в точку   меняется от  до , то

; (78)

б) если кривая задана параметрически  и при перемещении из точки  в точку  параметр  меняется от  до , то

. (79)

Замечания. В случае замкнутой кривой берется направление обхода кривой L  так, чтобы область, ограниченная этой кривой L, всегда оставалась слева.

Аналогичным образом вычисляется интеграл для пространственного случая. Кривая в пространстве обычно задается параметрически  (при перемещении из точки  в точку  параметр  меняется от  до ) и

 (80)

В некоторых случаях для вычисления криволинейного интеграла удобно пользоваться формулой Грина.

Пусть  – кусочно-непрерывный контур на плоскости , а  – ограниченная этим контуром замкнутая область. В области  заданы непрерывные функции  и , имеющие в этой области непрерывные частные производные. Тогда

, (81)

где направление на контуре  выбрано так, чтобы при движении по контуру область   все время оставалась слева.

Условием независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования является равенство

. (82)

Поверхностные интегралы подразделяются на поверхностные интегралы по площади поверхности (первого рода) и поверхностные интегралы по координатам (второго рода).

Пусть на некоторой поверхности , определенной уравнением , задана непрерывная функция . Разобьем эту поверхность на ячейки . В каждой ячейке  выберем произвольную точку  и умножим значение функции  в этой точке на площадь  ячейки . Сумма таких произведений по всем ячейкам

называется интегральной суммой.

Поверхностным интегралом первого рода от функции  по поверхности  называется предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений поверхности на части и стремлении площадей всех элементарных участков к нулю:

. (83)

Поверхностный интеграл по площади поверхности обладает свойствами, аналогичными свойствам криволинейного интеграла по длине дуги.

Если  означает поверхностную плотность массы материальной поверхности , то интеграл (83) определяет массу всей поверхности; и по формулам, аналогичным формулам приложений тройного интеграла, вычисляются координаты центра тяжести и моменты инерции этой поверхности.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла по области, являющейся проекцией поверхности интегрирования на одну из трех координатных плоскостей.

Пусть поверхность задана уравнением . Вначале находим вектор нормали к поверхности интегрирования . По виду поверхности выбираем наиболее удобную координатную плоскость для проектирования и находим соответствующий косинус вектора нормали к поверхности. Используем следующие формулы:

И окончательно, в зависимости от выбора координатной плоскости проектирования, имеем:

проектирование на плоскость

; (84)

проектирование на плоскость

; (85)

проектирование на плоскость

. (86)

Пусть на поверхности  задана непрерывная функция . На поверхности  выбрана одна из двух сторон, определяемая направлением нормали . Поверхностный интеграл  (поверхностный интеграл второго рода) от непрерывной функции  по координатам  и  по поверхности  выражается через поверхностный интеграл первого рода следующим образом:

.

Аналогично вводятся поверхностные интегралы по координатам  и :

 

и

.

Обычно рассматривают сумму всех трех интегралов по координатам вида

. (87)

Поверхностный интеграл по координатам обладает всеми свойствами интеграла по площади за исключением одного: при изменении стороны поверхности интеграл по координатам меняет знак.

Поверхностные интегралы по координатам вычисляются следующим образом. Предположим, что поверхность  однозначно проектируется в область  на плоскости  и  – уравнение этой поверхности, тогда

, (88)

где знак плюс берется в том случае, если на выбранной стороне поверхности  и знак минус – если . Аналогично, если  однозначно проектируется в область  (или ) на плоскость  (или ), т. е. может быть задана уравнением  (или ), то

, (89)

, (90)

где в случае (89) берется тот же знак, что и у , а в случае (90) – знак .

В некоторой области пространства задано векторное поле, если каждой точке  этой области сопоставлен вектор

,

проекции которого – функции  – будем считать непрерывно дифференцируемыми в этой области.

Пусть в указанной области  задана двусторонняя поверхность . Выбор стороны на этой поверхности определяется единичным вектором нормали  к поверхности :

.

Если поверхность  задана уравнением

, (91)

то единичный вектор нормали

, (92)

причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор  именно к выбранной стороне поверхности. Если поверхность состоит из нескольких частей, заданных уравнением (91), то вектор нормали вычисляется для каждой части отдельно по формуле (92), выбор знаков в которых определяется заданием одной из сторон всей составной поверхности. В случае замкнутой поверхности условимся всегда выбирать ее внешнюю сторону.

Потоком векторного поля  через двустороннюю поверхность  называется поверхностный интеграл

,

где  – единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной точке.

Если поверхность  взаимно однозначно проектируется на плоскость  в область , то вычисление потока векторного поля  через  сводится к вычислению двойного интеграла по области  по формуле

, (93)

где  – коэффициент при  в формуле (92), а  получается разрешением уравнения (91) относительно . Аналогично, если поверхность  взаимно однозначно проектируется на плоскость  или , поток вычисляется по формулам:

, (94)

. (95)

Замечание. Для вычисления потока через внешнюю сторону замкнутой поверхности , ограничивающей объем , можно применять теорему Остроградского: поток векторного поля  через любую замкнутую поверхность  равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля (), взятому по объему , ограниченному поверхностью , т. е.

, (96)

где дивергенция векторного поля

в декартовой системе координат вычисляется по формуле

. (97)

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле

и линия  (с указанным на ней направлением). Линейным интегралом векторного поля  вдоль линии  называется криволинейный интеграл

, (98)

где  – единичный касательный вектор к линии ;  – дифференциал ее дуги;  – радиус-вектор точки, описывающей линию .

Если  – поле сил, то линейный интеграл (98) представляет собой работу этого силового поля вдоль линии .

Если линия  задана параметрическими уравнениями

причем в начальной и конечной точках пути параметр  соответственно принимает значения  и , то

. (99)

Если линия  задана уравнениями , то линейный интеграл вычисляется по формуле

. (100)

В случае плоской линии  формулы (99) и (100) упрощаются (полагают ).

В случае изменения направления линии  (с концами  и ) линейный интеграл меняет знак.

Циркуляцией векторного поля  называется линейный интеграл этого поля вдоль замкнутого пути :

, (101)

где .

Циркуляция, как всякий линейный интеграл, непосредственно вычисляется по формулам (98), (99), (100).

Замечание. Если линия  состоит из нескольких частей  и т. д., то

 (102)

Замечание. Для вычисления циркуляции векторного поля по контуру   можно применять кроме непосредственного вычисления теорему Стокса: если в некоторой области пространства содержится двусторонняя кусочно-гладкая поверхность , ограниченная кусочно-гладким контуром   с единичным вектором нормали , выбранным так, чтобы видимый с его конца обход контура  совершался против часовой стрелки, то

, (103)

т. е. циркуляция равна потоку ротора векторного поля  через поверхность , «натянутую» на контур .

Здесь векторному полю

поставлено в соответствие другое векторное поле, называемое ротором , которое определяется равенством

. (104)

Так как , то на основании определения (104) формула (103) может быть записана в виде

. (105)

Векторное поле  называется потенциальным, если существует такое скалярное поле  в области , для которого

 (106)

Функция  называется потенциалом поля . Потенциальное поле является безвихревым, т. е.

. (107)

Это условие (107) является также и достаточным для потенциальности векторного поля  (в односвязных областях).

В случае потенциального поля линейный интеграл не зависит от формы пути, а лишь от выбора начальной и конечной точек. Потенциал этого поля определяется по формуле

, (108)

где интеграл берется по любому пути, исходящему из некоторой фиксированной точки . Обычно в качестве такого пути выбирают ломанную   (см. рис. 43).

В этом случае

. (109)

Векторное поле  называется соленоидальным в области , если  во всех точках этой области. Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля  является равенство нулю потока этого поля через любую замкнутую поверхность области .


Говорят, что векторное поле  обладает векторным потенциалом , если

, (110)

где  – произвольное скалярное поле. Необходимым и достаточным условием существования векторного потенциала  является соленоидальность поля . Векторный потенциал вычисляется по формуле

, (111)

где  – радиус-вектор точки , а  – точка, пробегающая отрезок , соответствующий изменению параметра  от  до , а .

ooo лидер
На главный раздел сайта: Математика