Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Практикум

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

 по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (31):

.

Внутренний интеграл вычисляем, считая х постоянным:

.

Полученную функцию от х интегрируем по отрезку [0, 1]:

.

Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не делают, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:

.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью  и прямыми у = х и .

Пример 8. В двойном интеграле  расставить пределы в полярных координатах, если область D ограничена кривой .

Пример 11. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью

Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми y = 2, z = y и гиперболой .

Решение. Область D (рис. 23) является простой относительно оси 0у. Она имеет нижнюю границу  и верхнюю границу z=y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] z меняется от  до z=y, поэтому имеем

.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена прямыми x = 0, y = 1 и кривой x = ln y.

Решение. Область D (рис. 24) является простой относительно оси 0у. Она имеет левую границу х = 0 и правую границу x = ln y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] x меняется от x = 0 до x = ln y, поэтому по формуле (30) имеем

.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область D (см. рис. 25) является простой относительно оси 0х. Проекцией области D на ось 0х является отрезок [0, 2a]. Нижняя граница – дуга окружности , верхняя – парабола .

Область D проектируется на ось 0у в отрезок [0, 2a]. Пересекая область D стрелками, параллельными оси 0х, видим, что линии входа и выхода не описываются одним уравнением.

Разбивая область D прямой у = а на три части:

;

;

,

получим

.

На главный раздел сайта: Математика