Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная по математике. Выполнение задач

Криволинейный интеграл II рода.

Пусть во всех точках дуги AB плоской гладкой кривой L определена функция двух независимых переменных .

Разобьем дугу LАВ на n частичных дуг точками А0=А, А1, А2,…, Аi ,Аi+1,…, Аn=В. На каждой из частичных дуг выберем произвольную точку Mi (xi,yi ). Вычислим значение функции  в этой точке – . Это число умножим на – проекцию дуги  на ось Ox. Сложим все эти произведения и получим интегральную сумму

.

Если функция  непрерывна во всех точках дуги LАВ, то существует предел интегральной суммы Sn при стремлении всех  к 0, и он не зависит ни от способа разбиения дуги LАВ на части, ни от выбора точки Mi на каждой частичной дуге.

Этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода (КРИ-2) от   по дуге LАВ и обозначается

.

Аналогично, значение функции  в точке Mi (xi,yi) можно умножить на проекцию дуги   на ось Oy –  (а не на ), то получим произведение . Предел суммы таких произведений при условии, что все  также является криволинейным интегралом второго рода и обозначается .

В том случае, когда на дуге LАВ заданы две непрерывные функции   и , то можно рассмотреть криволинейные интегралы второго рода

 (1)

Сумму этих двух интегралов обозначают символом

при этом предполагается, что оба интеграла (1) вычисляются в одном и том же направлении.

По аналогии с вышесказанным, если L – пространственная кривая, то криволинейным интегралом 2-го рода по этой кривой называется интеграл вида

,

 где  – функции трех независимых переменных, определенные в каждой точке кривой LАВ.

Формула Грина. Криволинейный интеграл второго рода по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D, может быть преобразован в двойной интеграл по области D ограниченной этим контуром L по формуле Грина.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Основные методы интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием.

Методом интегрирования по частям

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

Пример 40. Вычислить интеграл Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых

Пример 45. Вычислить интеграл

Вычисление площадей плоских фигур.

Пример 57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями    

Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Пример 63. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной эллипсом  вокруг оси

2.5. Свойства криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл 2-го рода обладает теми же свойствами, что и криволинейный интеграл 1-го рода. Однако в отличие от последнего он зависит от направления обхода кривой L, а именно:

10. При изменении направления интегрирования КРИ-2 меняет знак на противоположный, то есть

.

20. Механический смысл КРИ-2. Если  - сила, действующая на материальную точку, движущуюся вдоль линии LАВ, то КРИ-2 есть работа силы  вдоль линии LАВ, то есть .

2.6. Вычисление криволинейного интеграла II рода.

Вычисление КРИ-2 сводится к вычислению определенного интеграла с помощью уравнения пути интегрирования (уравнения кривой ).

1) Если кривая L по которой вычисляется КРИ-2, задана параметрическими уравнениями

 где параметр t изменяется на дуге  от t=α до t=β, а функции x(t), y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=

Замечание. Если  кривая в пространстве, то  и функции  – функции трех независимых переменных, определенные в каждой точке кривой LАВ, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=+

+

2) Если кривая L задана на плоскости xOy явно уравнением, где функция  непрерывна вместе со своей производной. Представим  в виде , тогда КРИ-2 вычисляется по формуле

=.

Замечание. Если кривая L задана уравнением , то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

Пример2.2.Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль одного витка винтовой линии , т.е. от точки A(1, 0, 0) до точки

B(1, 0, 4).

Решение. Работа А силового поля

вдоль линии L вычисляется по формуле

, где

Находим

.

 т.к.   и

Тогда работа А силового поля  вдоль одного витка винтовой линии вычисляется по формуле

автомат правильно отрезной
На главный раздел сайта: Математика