Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная работа №2 Введение в анализ

Контрольная работа №4

Дифференциальные уравнения. Ряды.

Теория вероятностей и математическая статистика

Основные теоретические сведения

1. Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет

.

2. Дифференциальное уравнение  называется однородным относительно переменных   и , если – однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. . данное уравнение с помощью замены  сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Уравнение  называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле

.

4. Уравнение вида

, (1)

где  и – постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение  называется характеристическим уравнением.

Если корни ,  характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой

.

Если , то общий интеграл уравнения (1) находится по формуле

.

Если , то общее решение уравнения (1) находится по формуле

.

5. Уравнение вида

, (2)

называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если   – общее решение соответствующего однородного уравнения,  – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения  уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

1) , если  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если  является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если  является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если число  не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

 (3)

называется степенным рядом,  – коэффициенты ряда. Число  называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при  и расходится при .

При  ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал  называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости  находится по формуле

.

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье  вычисляем по формулам ,

.

Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.

Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде . Требуется определить постоянные К1, К2 и λ так, чтобы функции x(t), y(t) удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

,   – корни характеристического уравнения.

Корню  соответствует система

 или .

Полагаем , тогда . Получаем решение системы:

.

Корню  соответствует система

 или .

Получаем , тогда . Получим решение системы:

.

Общее решение исходной системы имеет вид

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

.

Так как

,

то

.

Степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При  имеем , данный ряд расходится.

При  имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости

ряда является полуинтервал .

Пример 3. Вычислить  с точностью до .

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

.

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:

.

Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.

.

Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):

,

,

так как

,

.

.

На главный раздел сайта: Математика