Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная работа №2 Введение в анализ

Контрольная работа №3

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

Основные теоретические сведения

1. Частной производной первого порядка функции двух переменных   по аргументу  называется предел

.

Обозначение: , . Нахождение  сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента

2. Скалярным полем  называется скалярная функция точки  вместе с областью ее определения.

Скалярное поле  характеризуется градиентом

и производной по направлению :

,

где – координаты единичного вектора направления .

3. Вычисление двойного интеграла от функции , определенной в области , сводится к вычислению двукратного интеграла вида

, (1)

где область  определяется условиями ,  или вида

, (2)

если область  определяется условиями , .

Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования.

4. Векторным полем  называется векторная функция точки :

.

Векторное поле  характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:

и векторной величиной – ротором:

.

Векторное поле  называется соленоидальным, если в каждой точке этой области .

Векторное поле  называется потенциальным в области , если в каждой этой области .

Для потенциального векторного поля  справедлива формула для нахождения потенциальной функции

,

где – фиксированная точка области , – любая точка области – произвольная постоянная.

Потоком  векторного поля  через двустороннюю поверхность  называется поверхностный интеграл

, (3)

где – единичный вектор нормали вдоль ,  . Если поверхность  задается уравнением , то

,

причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор  к выбранной стороне поверхности.

Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность   на одну из координатных плоскостей. Пусть, например,  взаимно однозначно проектируется на , тогда

.

Если  взаимно однозначно проектируется на  или , то

 или .

Иногда вычисление потока проводят методом проектирования  на все три координатные плоскости :

,

каждое слагаемое вычисляется отдельно посредством проектирования   на соответствующую координатную плоскость.

Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля  через замкнутую поверхность  и дивергенцию поля :

.

5. Циркуляция векторного поля  по замкнутой кривой  называется криволинейный интеграл

,

где .

6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля  и его ротором:

,

где – поверхность, ограниченная замкнутым контуром , – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с направлением обхода контура .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции   в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

Приравнивая частные производные нулю, можно на  и  сократить, так как внутри треугольника , тогда

.

Решение этой системы: . Стационарная точка  лежит внутри треугольника, . На сторонах треугольника и  значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее значения на стороне . На ней  и

.

Стационарные точки находим из уравнения .

.

(т.к. х = 0 – граничная точка).

.

На концах интервала .

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений:

 в точке на стороне  в точке (4, 2).

Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение   функция принимает внутри треугольника в точке ; наименьшее значение z = - 128 – границе, в точке (4, 2).

Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции   в точке .

Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M0:

.

Тогда в точке  имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M0 достигается в направлении  :

.

Пример 3. Вычислим работу силы  вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:

.

Тогда работа А силы  на пути АВ вычисляется по формуле

.

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля

 по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости  с координатными плоскостями при положительном направлении обхода относительно нормального вектора  этой плоскости двумя способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости (р) с координатными плоскостями получим треугольник АВС и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА.

1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле:

.

На отрезке АВ имеем:

.

,

На отрезке ВС: ,

,

На отрезке СА: ,

,

Следовательно, .

2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса.

Для этого вычислим:

.

В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды ОАВС:

.

По формуле Стокса имеем:

,

где .

Следовательно,

.

На главный раздел сайта: Математика