Алгебра Вычислить интеграл

Контрольная работа №1 Аналитическая геометрия

Основы векторной алгебры

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Основные понятия векторной алгебры

Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости  и . Вектором называется направленный отрезок, идущий из точки  в точку  (Рис. 1.1). Точка  называется началом вектора, точка  – концом.

Рис.1.1. Направленный отрезок – вектор

Вектор обозначают строчной латинской буквой со стрелкой –  или прописными буквами, обозначающими начало и конец вектора – .

Определение 1.2. Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Определение 1.3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается как  (читается как «модуль вектора а» или «модуль вектора АВ»).

Когда начало и конец вектора совпадают, то говорят о нулевом векторе, который обозначают как . Длина нулевого вектора равна нулю.

Скалярное произведение векторов

Векторное и смешанное произведения векторов

Примеры решения типовых задач: векторная алгебра Задача Даны два вектора  и . Найти координаты вектора .

Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Уравнение плоскости

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений:

Кривые второго порядка

Пример выполнения контрольной работы Задание Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

Определение 1.4. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

Определение 1.5. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают как . Вектора называются компланарными, если они лежат в одной (или в параллельных) плоскостях (Рис. 1.2.).

Рис.1.2. Взаимное расположение коллинеарных векторов

Определение 1.6. Два вектора называют равными, если они коллениарны, одинаково направлены и их длины совпадают:  и .

Условие сонаправленности в данном определении очень важно, так как вектора, имеющие одинаковую длину, но направленные в разные стороны, уже не являются равными.

Операции над векторами

Над векторами возможны следующие операции: сложения, вычитания, умножение вектора на число.

Определение 1.7. Операции сложения, вычитания векторов и операция умножения вектора на скаляр называются линейными операциями.

Сложение векторов. Сумма двух векторов  строится как вектор, идущий от начала вектора  к концу вектора , если вектор  приложен к вектору  (Рис. 1.3).

Рис. 1.3. Сумма двух векторов

Для построения сумму двух векторов нужно («правило параллелограмма»): приложить два вектора к одной точке и достроить до параллелограмма. Диагональ параллелограмма, идущая из точки приложения векторов и есть их сумма.

Для построения суммы произвольного числа векторов нужно приложить второй вектор к концу первого, третий к концу второго и т.д., сумма находится как вектор, идущий из начала первого к концу последнего.

Свойства операции сложения векторов:

1) коммутативность

2) ассоциативность:

3) для любого вектора : .

4) для любого вектора  справедливо:

Вектор  называют противоположным вектору  и обозначают как .

Вычитание векторов. Вектор, являющийся результатом вычитания двух векторов строится также, по правилу параллелограмма, но является второй диагональю в нем (Рис.1.4):

Рис. 1.4. Вычитание векторов по правилу параллелограмма

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора  на скаляр является  вектор , удовлетворяющий условиям:

1) вектор  коллинеарен вектору ;

2) имеет длину ;

3) сонаправленный  при  и антинаправленный при .

Свойства операции умножения вектора на скаляр:

1) ненулевые векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число  такое, что ;

2) умножение вектора на скаляр ассоциативно относительно умножения скаляров: ;

3) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения чисел: ;

4) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов: ;

5) , .

Из свойств произведения скаляра на вектор следует, в частности, что при умножении нуля на вектор получается нулевой вектор .

Свойства операций над векторами позволяют обращаться с ними, как с обычными числами: переносить их из одной части равенства в другую с противоположным знаком, делить обе части на ненулевое число, приводить подобные члены и т.п.

Пример 1.1:

Решить уравнение  относительно :

Решение: Переносим  в правую часть уравнения: ; делим правую и левую части на коэффициент при , равный 2. Получаем решение в виде: .

Ответ: .

Базис и разложение векторов

Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов  называется вектор , а числа  - коэффициентами линейной комбинации.

Определение 1.9. Совокупность векторов  называется линейно независимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все  , то вектора  называют линейно зависимыми.

Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора   и . Тогда любой вектор  можно представить в виде:   и притом, единственным образом.

Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор  – базисом, а коэффициенты при базисе:  – координатами разложения.

С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису  называются координатами точки в построенной системе координат: .

Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице: . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора  относительно декартова базиса как .

В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора   равна: .

Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.

В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки  и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка   - начало аффинной системы координат.

Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:

1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;

2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;

3) векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Пример 1.2.

Даны два вектора  и . Доказать, что они могут быть базисом.

Решение:

По определению вектора могут быть базисом, если они ненулевые и неколлениарны, поэтому для доказательства нужно проверить выполнение 3 свойства – соотношение координат векторов не должно быть равным.

 равенство неверно, значит, вектора и  неколлениарны.

Ответ: вектора  и  являются базисом.

Пример 1.3.

Разложить по базису  и  вектор .

Решение: Обозначим координаты вектора  как ; тогда разложение вектора  по базису  и  можно записать по формуле: . Согласно свойству 1, операции над векторами можно заменить операциями над их координатами; подставим координаты в уравнение, получаем следующую систему: . Решив эту систему, получаем

Ответ: .

На главный раздел сайта: Математика